Матрица (математика) - что это?

Матрица представляет прямоугольную таблицу, в которую занесены числа, входящие в действительные, иррациональные и комплексные множества, являющиеся частью колец или полей. Размер матрицы зависит от количества строк и столбцов. Изначально матрица была треугольной, но в процессе своего становления приобрела привычный сейчас вид четырехугольника. И в настоящее время стало возможным даже транспонирование матриц онлайн, что очень удобно для тех, кто изучает математику.

Где используется матрица?

Матрица нужна в математическом анализе, при сокращении алгебраических, линейных или дифференциальных примеров с неизвестными. Строки в матрице показывают количество решаемых уравнений, а от столбиков зависят неизвестные. Решение приобретает вид изменения матрицы.



Где и когда зародилась матрица?

Самую раннюю матрицу нашли в Китае. Судя по записям, они именовались волшебными квадратами. С помощью матриц в древнем Китае решали только уравнения первой степени.

Еще волшебные квадраты находились археологами и среди записей арабских математиков, именно у них впервые наблюдается сложение матриц. В конце 17-го века, когда теория относительностей уже прижилась, Крамер стал искать другие закономерности, и в середине 18-го века (1751 год) представил народу «правило Камера». Приблизительно в это же время стал известен метод Гаусса. Через 2 столетия Уильям Гамильтон и Артур Кели создали теорию матриц.

Самый большой вклад в развитие матриц внес Вейерштрасс и Фронбениус. Само же понятие матрицы определил Джеймс Сильвестр только в 1850.

Что можно делать с матрицей?

В матрице возможны такие изменения:

• Складывать одноразмерные матрицы.
• Если в одной матрице определенное количество строк, а в другой столько же столбцов, то их можно перемножить.
• По канонам перемножения матриц допускается умножать на вектор, так как вектор есть частное матрицы.
• Матрица поддается скалярному умножению.

Складываясь, матрицы становятся абелевой группой. Говоря о скалярном перемножении, матрица становится модулем над умножаемым массивом или вектором в области. Совокупности перемноженных матриц создают ассоциативное кольцо и единицу перемножения или сложения.

Матрицы и их свойства

Уже есть доказательства того, что у каждого оператора первой степень в пространстве с n-ым числом осей есть только одна квадратная матрица n-ого порядка. Этой теореме есть обратная – для любой квадратной матрицы n-ого порядка есть только один линейный оператор, выполняющийся в одном пространстве. Ее характеристики зависят от свойств ее линейной функции. Собственные вектора соответствуют таким же числам, входящим в матрицу.

Такими же свойствами обладает матрица из квадратичных форм.

Существуют множества матриц, соответствующих разным типам и видам. Матрицы бывают треугольные и верхнетреугольные, симметричные и кососимметричные, единичные и другие. В теориях матриц важное место занимают нормальные состояния, то есть те, которые имеют канонический вид. Их можно создать, переменив координаты на кратные.

Одно из самых важных теоретических знаний – это жорданова теория нормальных форм. В реалиях такие формы встречаются редко. Часто они имеют дополнительные характеристики, такие как, к примеру, устойчивость.