загрузка...

Математика и ботаника

  • 16.06.2010 / Просмотров: 7015
    //Тэги: ботаника   Гордон   математика  

    Насколько хорошо мы знаем разнообразие окружающих нас растений, и насколько адекватно можем его описать? Можно ли применить методы современной математики для анализа информации о природе растений? О фрактальной геометрии и мире растений - биолог Алексей Оскольский (Санкт-Петербург) и математик Дмитрий Соколов.

загрузка...







загрузка...

Для хранения и проигрывания видео используется сторонний видеохостинг, в основном rutube.ru. Поэтому администрация сайта не может контролировать скорость его работы и рекламу в видео. Если у вас тормозит онлайн-видео, нажмите паузу, дождитесь, пока серая полоска загрузки содержимого уедет на некоторое расстояние вправо, после чего нажмите "старт". У вас начнётся проигрывание уже скачанного куска видео. Подробнее

Если вам пишется, что видео заблокировано, кликните по ролику - вы попадёте на сайт видеохостинга, где сможете посмотреть этот же ролик. Если вам пишется что ролик удалён, напишите нам в комментариях об этом.


Расшифровка передачи


Дмитрий Соколов. Эта история началась года три
назад, когда я впервые познакомился с Алексеем Аса-
фьевичем и как-то впервые понял, что действитель-
но между математикой и систематикой растений есть
нечто общее. Исходным пунктом является очень боль-
шая сложность разнообразия растений. Как ни стран-
но, книжка, по которой определяют одуванчики – это
такой увесистый том, который человек с трудом подни-
мает. А у Алексея Асафьевича есть такой сослуживец
– Саша Сенников, мы с ним гуляли на ботанической
экскурсии в Нескучном саду, и он на моих глазах нашёл
новый вид ястребинок для Москвы и Московской обла-
сти. А потом мы перешли по мосту через Москва-реку,
а на другой стороне такая старая усадьба, по-моему,
князей Оболенских, он там нашёл новый для Москвы
и Московской области вид одуванчика. Это показыва-
ет, насколько это ещё не исследованная область. И это
биоразнообразие очень многомерно. Оно и в геологи-
ческую историю простирается, мы же не только мгно-
венный его срез должны изучать, но и распростране-
ние по Земле. Мало знать, какие вообще есть виды
растений. Нужно знать, какие есть растения здесь и
сейчас, и как они сюда заносятся. На насекомых это
нам даже лучше известно. Вот к нам проник колорад-
ский жук, и каждый, кто выпалывает картошку на своём
участке, знает, что это такое. Он проник и распростра-
нился по нашим местам. А также распространяются и
растения. Это, пожалуй, самый такой простой момент
общности интересов между математикой и ботаникой.
Эта область ботаники называется «флористика», она
изучает, что где растёт. У меня есть такая хорошая на-
учная знакомая Люда Хорун из Тулы, она собрала за
двести лет базу данных по заносным растениям в Туль-
ской области. Она действительно, как говорят матема-
тики, представительная. По ней можно количественно
изучать, как в Тульскую область заносились виды ра-
стений.
Замечательно, что как только её начинаешь количе-
ственно обрабатывать, там немедленно видно – вот
произошла революция в 17-м году, в 80-х годах на-
родное хозяйство Советского Союза работало в пере-
напряжённом ритме, потом произошёл экономический
кризис. Это там прекрасно видно. Насколько я знаю,
это первая такая полная база данных. Её действитель-
но можно количественно обрабатывать. Это сравни-
тельно простые приёмы обработки. Мы дальше будем
говорить про более такие…
Александр Гордон: Скорее качественные, чем ко-
личественные.
Дмитрий Соколов. …экзотические вопросы. Но в принципе, мате-
матика вполне в состоянии описывать количественно
динамику заносных видов, то, как они распространя-
ются. Довольно хорошо развит математический аппа-
рат, который мог бы это описывать и дело за реаль-
ными данными и за желанием. Меня, надо сказать, со-
всем не научная сторона вопроса очень поражает. Вы-
зывает затруднение финансирование этих работ, там
требуются совершенно смехотворные деньги, порядка
трех тысяч долларов в год, чтобы деятельность этой
группы поддерживать. Мне трудно представить, что с
этим могут быть затруднения, а они есть на самом де-
ле. Не так там много в Тульском университете групп,
которые работают на таком интересном уровне.
Александр Гордон. Это вечная боль… Тут три тысячи рублей иной
раз трудно бывает получить.
Алексей Оскольский: Тут может создаться впеча-
тление, что Дмитрий Дмитриевич – ботаник, а я мате-
матик, хотя на самом деле это не так. Собственно, если
обращаться к предыстории этой передачи, то она нача-
лась, наверное, со школы по теоретической морфоло-
гии растений, состоявшейся в Петербурге в 2001 году.
В её организации я принимал участие. Мы тогда при-
гласили Дмитрия Дмитриевича сделать доклад о фрак-
талах. Концепция фракталов очень популярна, фрак-
талами интересуются и морфологи растений, поэто-
му нам хотелось услышать что-то более квалифициро-
ванное об этом предмете. Доклад Дмитрия Дмитрие-
вича спровоцировал тогда тот самый спор, в котором
может родиться истина или, по крайней мере, понима-
ние чего-то нового. Нам был предложен некий матема-
тический язык, который позволил лучше описывать, а
значит и лучше решать некоторые из насущных про-
блем ботаники. Про них мы и хотим сейчас поговорить.
Александр Гордон. Пожалуйста.
Алексей Оскольский. Ну, а сейчас я хотел бы немножко иллюстриро-
вать те проблемы, которые волнуют ботаников. В на-
роде есть ощущение, что ботаника – это наука века 19-
го, что практически всё уже открыто, и сейчас что-то
где-то там уточняется на уровне третьего знака после
запятой. Но это не так. Некоторые сенсационные, без
преувеличения, открытия в ботанике сделаны в тече-
ние последних десяти лет. Вот покажите, пожалуйста,
первую картинку.
Здесь на экране изображена веточка растения, де-
рева под названием Ti-codendron. Это родственник
берёзы, ольхи или лещины (лесного ореха), относит-
ся к семейству берёзовых. Растёт Ticodendron в Цен-
тральной Америке. Обратите внимание на то, какие
у него плоды. У нашей берёзки-то это орешек с кры-
лышком, здесь же это сочная костянка, как у абрико-
са. Тем не менее, это родственник берёзы. Так вот,
в Центральной Америке, в трех странах Ticodendron
– это лесообразующая порода, однако ботаниками он
открыт только в начале 90-х. Покажите, пожалуйста,
следующую картинку.
Это ещё более сенсационное открытие, сделанное
в 1989-ом году. Это La-candonia schismatica, расте-
ние-паразит. Растение не зелёное, не имеющее хлоро-
филла и питающееся на корнях других растений. То-
же из Центральной и Южной Америки. Но самое уди-
вительное – это цветок Lacadonia, в котором тычинки
находятся внутри, пестики расположены снаружи. То
есть это растение опровергает все основные каноны
морфологии цветка.
Вот, пожалуйста, ещё следующая картинка. Это де-
рево хвойное дерево, новый род хвойных под назва-
нием Wollemia. Вы, наверное, знаете о араукариях. Их
иногда выращивают у нас в комнатах. Это хвойные
деревья, но с довольно широкими листьями. Так вот,
Wollemia – это новый род хвойных, который найден в
1994-м году в национальном парке Волеми, в 200-х ки-
лометрах от города Сиднея, в Австралии. Город Сид-
ней не маленький, окрестности его достаточно хоро-
шо исследованы. Вообще, австралийцы очень любят и
знают природу, свою флору. Я был в Австралии, так по
ходу могу сказать, что там знать растения так же пре-
стижно, как у нас, скажем, знать русскую классическую
литературу. Это предмет национальной гордости. Тем
не менее, в двухстах километрах от Сиднея до послед-
него времени росло дерево, о существовании которо-
го ботаники не знали. Причём его ископаемые остатки
были известны аж с мелового периода.
Александр Гордон. То есть это кистепёрая рыба ботаники.
Алексей Оскольский. Ну, кистепёрая рыба всё-таки подревнее не-
множко. Но, тем не менее, хвойных не так много, и от-
крытие нового рода хвойных – это достаточно интерес-
ное событие.
И покажите, пожалуйста, следующую картину. Вот
Archaefructus, справа отпечаток, слева – реконструк-
ция. Это самое древнее из известных растений, кото-
рые надёжно можно отнести к цветковым. Считается,
что цветковые появились в меловом периоде. Это ра-
стение найдено в самых верхних слоях юрского перио-
да в Восточном Китае. И найдено совсем недавно, я не
помню точно год, но это 90-е годы. К сожалению, до на-
ших дней Archaefructus не дожил, но это открытие дей-
ствительно можно сравнить по значимости с открыти-
ем кистепёрой рыбы.
Дмитрий Соколов. На самом-то деле с такими проблемами ботани-
ки без помощи математиков справляются. А вопрос-то
стоит в том, что нужно разобраться с теми структурны-
ми единицами – таксонами, как говорят специалисты
– где разобраться трудно. Этих одуванчиков, как гово-
рится, чёртова уйма. Отличаются они, с одной сторо-
ны, значимо, а, с другой стороны, это очень сложная
система. И тут, прежде всего, по-видимому, нужно по-
говорить о том, что такое вид, что мы, собственно, хо-
тим узнать. А вещь это крайне непонятная.
Алексей Оскольский. Положение таково, что мы часто говорим об
охране того или иного вида, об исчезающих видах. Но
при этом большинство людей не знает, что само поня-
тие вид в ботанике, вообще в биологии, чрезвычайно
проблематично. Что, собственно, такое вид? Есть раз-
ные концепции вида, весьма противоречивые. В систе-
матике растений есть такое негласное определение,
что вид – это то, что считает видом систематик, компе-
тентный в данной группе растений. Так вот, наши дис-
куссии с Дмитрием Дмитриевичем позволили предло-
жить язык для описания и немножко лучшего понима-
ния, что такое вид. Как ни странно, тут-то помогла гео-
метрия фракталов.
Дмитрий Соколов. Вообще завет, которому нужно следовать, когда
пытаешься применить математику где-нибудь вне её
поля деятельности, такой: сначала нужно очень дол-
го и внимательно слушать, что говорят специалисты.
Очень плохо, когда математик идёт и начинает пред-
лагать от того места, что он знает. А лучше всегда сна-
чала очень-очень долго слушать, что говорят. Я в этом
смысле нахожусь в тепличных условиях, у меня сын
специалист по систематике растений. Я, собственно,
через него познакомился с Алексеем Асафьевичем, и
у нас дома такой постоянно действующий семинар по
интересным вопросам науки.
Александр Гордон. Повезло вам, да.
Дмитрий Соколов. Понимаете, создаётся действительно до неко-
торой степени парадоксальная ситуация. Вот москов-
ская школа ботаников видит гораздо меньше видов,
чем санкт-петербургская, ленинградская школа бота-
ников. Само количество видов зависит от точки зрения.
Такие на самом деле ситуации в математике извест-
ны. Тут немножко сбивает с толку то, что если мы по-
пытаемся виды изобразить, как точки в каком-то про-
странстве, то это пространство лишь умопостигаемое.
Я сейчас приведу пример, в котором тоже есть не-
что подобное, только там ситуацию легче визуализи-
ровать. Можно следующую картинку?
Сейчас будет такая штука, которая называется
«шкала геомагнитной полярности». Так в геологии при-
нято показывать время. Это ось времени, разрезан-
ная на три кусочка. Ось времени за 160 с чем-то мил-
лионов лет. Указаны промежутки времени, когда ось
магнитного диполя имела такое же направление, как
сейчас. Они черненьким показаны. А беленьким – ко-
гда она была направлена прямо противоположно. Ока-
зывается, что в ходе геологической истории ось маг-
нитного диполя Земли быстренько переворачивается,
практически мгновенно по геологическим масштабам.
Казалось бы, простой вопрос: сколько на этом рисун-
ке зарегистрировано смен направлений геомагнитно-
го поля. Казалось бы, совершенно ерундовый вопрос.
Возьмём и посчитаем. Оказывается, это очень сильно
зависит от того, с каким вы разрешением на принте-
ре напечатаете эту картинку. Это показатель того, что
на самом деле число инверсий здесь плохо определе-
но. Число инверсий зависит от временного разреше-
ния. Геологи так и описывают эту ситуацию. Вот есть,
как они говорят, хроны, где преимущественно белое
направление магнитного поля. Хроны, где были частые
инверсии. Хроны, где было черненькое направление
магнитного поля. А вопрос о том, сколько было кон-
кретно инверсий, он не вполне хорошо определён. И
если мы попытаемся измерять количество этих хрон,
то их число будет расти в зависимости от временно-
го разрешения заметно, степенным образом. Вот такие
множества, они называются «фрактальными».
Это вообще интересная история. Слово «фрактал»
вошло в науку с подачи учёного наших дней – Ман-
дельброта, а на самом деле идея была высказана в 18-
м году замечательным математиком Феликсом Хаус-
дорфом. Только он таких слов хороших не знал. Он
сформулировал понятие «дробной размерности», мы
его попозже посмотрим на других картинках. Множе-
ство точек на временной оси, когда случались инвер-
сии, это множество с дробной размерностью. Оно за-
нимает промежуточное положение между дискретным
набором точек и непрерывной прямой. Все признаки
того, что нечто подобное случается в гораздо более
сложном пространстве признаков видов, налицо.
То есть складывается впечатление, что вопрос о
том, сколько видов бывает одуванчиков поставлен не
совсем правильно.
Алексей Оскольский. Или сколько видов во флоре Московской обла-
сти.
Дмитрий Соколов. Да, сколько видов одуванчиков во флоре Мо-
сковской области – это не совсем корректный вопрос.
Алексей Оскольский. Не обязательно одуванчиков, а вообще, сколь-
ко видов растений во флоре Московской области.
Дмитрий Соколов. По-видимому, какие-то хорошо определённые
виды, разграниченные, организуются в роды, семей-
ства, и так далее, а есть места в этом биологическом
разнообразии, где эта структура выражена хуже. Здра-
вый смысл подсказывает, что, наверное, там и проис-
ходит развитие биоразнообразия.
Алексей Оскольский. Как раз ваш доклад навёл на мысль о том,
что вид, помимо того, что он представляет собой не-
кий природный объект, может рассматриваться как ме-
сто. Именно место. А место – штука, если вдуматься,
очень странная. Вот у нас комната, в ней есть места
для стула, для стола и так далее. Но мы не можем
сказать, сколько в комнате мест. Место – такой стран-
ный объект, который устроен фрактально. Стол нахо-
дится в комнате, в Москве, в России, на земном ша-
ре. И представление о виде именно как о некотором
месте в естественной системе, на мой взгляд, доста-
точно продуктивно. Конечно, вид можно рассматривать
как группу особей, которые между собой скрещивают-
ся или обладают какими-то общими признаками. Од-
нако такое топологическое представление вида просто
как места может быть полезно и для систематики, и для
флористики.
Но сейчас, наверное, стоит перейти к ещё одному
сюжету, связанному с применением математики, ма-
тематических подходов в систематике растений. Исто-
рия с ним достаточно поучительна. В 1960-е годы не-
мецкий энтомолог Вилли Хенниг разработал некото-
рый алгоритм для определения родственных отноше-
ний между группами организмов. Покажите, пожалуй-
ста, следующую иллюстрацию.
Систематик работает с матрицей данных. Я здесь
просто привёл пример такой матрицы данных. У нас
есть четыре самых разных организма: лягушка, чере-
паха, ворона, кошка. И некоторый набор признаков.
Здесь для примера пять признаков. У нас есть неко-
торое представление об эволюции этих признаков, ис-
ходящее из каких-то общебиологических представле-
ний. И мы можем чисто формально построить так на-
зываемую «кладограмму», то есть дерево, иллюстри-
рующее родственные связи между данными организ-
мами. Здесь получается, что положение вороны при
данном наборе признаков оказывается несколько про-
тиворечивым, в то время как положение черепахи или
кошки более-менее понятно. К кому ближе ворона –
к кошке или к черепахе? Я подчёркиваю, это пример
достаточно умозрительный. Реально всё сложнее. Но
здесь возможны два варианта. С кошкой ворону сбли-
жает теплокровность, с черепахой её сближает сухая
кожа, кожа, лишённая желез. И как раз существуют вы-
числительные алгоритмы для подобных операций, для
построения подобных деревьев, и когда таких призна-
ков и таких групп организмов сотни, то и таких неясных
ситуаций тоже накапливается много. И поэтому долгое
время систематики относились с большим скепсисом к
таким кладистическим подходам. До 90-х годов, когда
были усовершенствованы методы молекулярной био-
логии, и секвенирование, то есть определение после-
довательности ДНК, стало, в общем, рутинной лабора-
торной процедурой. Если не в России, по бедности, то
на Западе. Сейчас это вопрос денег и небольшого ко-
личества рабочего времени. И как оказалось, сейчас…
Дмитрий Соколов. Но всё-таки в России тоже возможно…
Алексей Оскольский. Сейчас у нас, слава Богу, это тоже вполне воз-
можно. В Москве существует лидирующая группа по
молекулярной систематике под руководством Андрея
Сергеевича Антонова при Московском университете…
Дмитрий Соколов. Да, я как представитель Московского универси-
тета не могу молчать…
Алексей Оскольский. Мы в нашем Ботаническом институте очень гор-
димся, что этой зимой мы провели первый секвенс, на-
конец-то освоили. То есть одно дело Москва, другое
дело – остальная Россия. Это тоже не надо забывать.
Дмитрий Соколов. Ну, не надо… У вас всё-таки лидирующий бота-
нический институт в России…
Алексей Оскольский. Сейчас вопрос о чисто техническом оснаще-
нии. Так или иначе, обнаружились объекты, которых
можно брать много, строить матрицы данных с очень
большим числом равновесомых признаков. Тот ну-
клеотид или иной нуклеотид в данной позиции – вот
вам и признак. Этих нуклеотидов тысячи. И если для
морфологических признаков, которые видны простым
глазом, этот подход действительно не очень работал,
во-первых, потому что признаков не так много, а во-
вторых, а может быть, даже во-первых, потому что
эти признаки заведомо неравнозначны, и вообще лю-
бой объект мы можем расчленить на неопределён-
ное число признаков, то последовательности ДНК да-
ют нам совершенно объективное расчленение на чёт-
кие и равновесомые признаки. И вот сейчас молеку-
лярная систематика стала достаточно мощной обла-
стью, она уже прочно вошла, собственно, в ботанику.
Хотя это и порождает определённые проблемы. Тут,
наверное, вы расскажете лучше…
Дмитрий Соколов. Вы знаете, тут просто целый комплекс очень
интересных математических задач. Во-первых, эти все
алгоритмы требуют совершенно бешеного машинно-
го времени. И в особенности оно нужно для того, что-
бы сделать результаты по-настоящему убедительны-
ми. Даже несмотря на то, что сейчас персональные
компьютеры очень быстро работают, эта задача яв-
но не для персональных компьютеров. Очень здорово,
что мы не только в молекулярной биологии проходим
этапы технического совершенствования, но и в вычи-
слительной математике. И буквально за последние го-
да два, наверное, может, три стало реальным система-
тически пользоваться компьютерными кластерами. А
эти задачи буквально идеально приспособленные для
компьютерных кластеров. Тут нужно опробовать много
вариантов кладограммы, дерева, которое мы смотре-
ли. И можно очень здорово распараллелить эти зада-
чи, поручить разным процессорам компьютерным из-
учать разные варианты. Вообще говоря, когда вы соби-
раете кластеры из большого числа компьютерных про-
цессоров, очень-очень не просто сделать так, чтобы
они все были эффективно загружены. У нас сейчас в
университете в вычислительном центре появился та-
кой достаточно мощный кластер, а есть и в Академии
наук, и в других местах. Это очень серьёзная область
математики, как сделать хорошую загрузку разных про-
цессоров.
Есть другая проблема. Классическая вычислитель-
ная математика сначала была проговорена и продума-
на ещё в докомпьютерную эпоху, когда сначала долго
объясняли, как этот алгоритм работает и почему его
так надо организовывать, а не как-нибудь по-другому.
Я верю, что те, кто писал кладистические программы,
хорошо понимают, почему они должны работать имен-
но так. Но это знание, оно в очень многом не очевид-
но. И вот для компьютерной реализации это очень не-
обычная ситуация, когда вроде бы есть работающая
программа, а как она точно работает и почему – поль-
зователи затрудняются объяснить. Ну, с этим тоже, по-
видимому, удастся сладить. Но в целом это очень при-
влекательная задача – сделать так, чтобы эти програм-
мы пошли на кластерах параллельных компьютеров
и чтобы действительно мы понимали не просто реце-
птурно, как она работает, а концептуально.
Алексей Оскольский. К сожалению, очень немногие систематики,
пользователи подобных программ, вообще задаются
вопросом: а что там внутри этой программы? То есть
признаки грузят, на выходе получают кладограмму.
Она им нравится или не нравится, и какие-то меняют
условия, играют. А смысл того, что внутри, к сожале-
нию, остаётся, как правило, за кадром. Тут возникает
масса недоразумений. Лично я смотрю на эти програм-
мы и на эти деревья как на своего рода карты, кар-
ты разнообразия живого. Это отнюдь не генеалогиче-
ские деревья, не дерево, которое изображает историю,
буквальный исторический сценарий, как развивались
данные таксоны, а именно как карта. И, точно так же,
как в географии, существуют разные способы спрое-
цировать земную поверхность, которая отнюдь не ров-
ная, на плоскость карты. Существуют разные проек-
ции. Существуют разные системы координат. Анало-
гично и здесь. Просто разные программы, насколько я
понимаю, отличаются способом проецирования эмпи-
рического разнообразия живых организмов на некото-
рую идеальную плоскость или на некоторое идеальное
пространство. Но тут, наверное, можно перейти к рас-
познаванию…
Дмитрий Соколов. Распознавание образов вообще очень тяжёлая
область математики, где с большой кровью и с боль-
шим трудом даётся прогресс. Есть такие очевидные
вещи, которые человек легко решает. Я субъективно
уверен, скажем, что вы не марсианин, а объяснить это
компьютеру – очень непростая задача. И её, в общем,
нужно решать совместно и математикам и биологам. С
моей точки зрения, для того чтобы подобные програм-
мы начали хорошо работать, должны появиться люди,
которые в одной своей ипостаси, скажем, ботаники, а
в другой – специалисты, скажем, по вычислительной
математике.
Это трудно, но исторически примерно так развива-
лась, скажем, математическая физика. Были у её исто-
ков такие люди, например, как Андрей Николаевич
Колмогоров. Математик, но писал и чисто физические
работы. Скажем по теории турбулентности, за которые
любому, самому заядлому физику памятник нужно ста-
вить. Нужно, чтобы такие же люди появились у того ме-
ста, где внедряются компьютерные программы.
Алексей Оскольский. Тогда, может быть, надо говорить немножко
иначе. Да, действительно, я уже сказал, что вид – это
то, что считает видом компетентный систематик. То
есть, виды обычно распознаются «в лицо». И для то-
го чтобы научить распознавать других людей, несисте-
матиков, указываются идентификационные признаки,
определительные признаки. Но часто эта задача до-
статочно сложна. Здесь и нужно помочь несистемати-
кам распознавать виды. Вот это – запрос от ботаников
к математикам, который, как я понимаю, пока не впол-
не удовлетворён.
Дмитрий Соколов. Вполне не удовлетворён.
Алексей Оскольский. Что касается вашего рассуждения, я думаю,
что сейчас появляется определённого рода профессия
под названием «когнитология», наука об интервьюиро-
вании экспертов. Мы имеем дело не с субъективным,
а так называемым экспертным знанием, и задача ко-
гнитолога поговорить, понять, раскрыть опыт, личный
опыт эксперта, и формализовать его в таком виде, что-
бы представить его в виде компьютерной программы.
Но теперь нам, наверное, стоит перейти к области
ботаники, в которой нужда в применении математики
прямая и непосредственная, это морфология расте-
ний. Когда речь идёт о форме растений, то тут само
напрашивается применение геометрии. Здесь вот су-
ществуют разные подходы, один из них развивается в
Москве, в Зоологическом музее при Университете, где
работает Игорь Яковлевич Павлинов. Он пропаганди-
рует подход под названием «геометрическая морфо-
метрия». Его статью об этом я прочитал буквально три
дня назад в «Журнале общей биологии», в самом по-
следнем выпуске. Подход в том, что описывается раз-
нообразие формы некоего органа или целого организ-
ма, а затем выявляются правила топологического пре-
образования этой формы. Я видел эту работу, она лю-
бопытна, но пока лично я не знаю, как осмысленно при-
менить этот метод для себя, для моих узких задач. Но
я надеюсь, что, может быть, для распознавания видов
он может быть и применён.
Дмитрий Соколов. Морфология, которая является одним из бази-
сов систематики, – наука о форме, и геометрия тоже
наука о форме, только морфология растений – наука
о форме растения, геометрия – наука о форме вооб-
ще. Тут общность интересов очевидна. Вопрос в том,
как развить те геометрические подходы, которые дей-
ствительно нужны. И тут мы ещё раз выходим на при-
менение фракталов. Действительно, многие растения
демонстрируют нечто похожее на фракталы. Фракта-
лы – это не просто объекты промежуточной размерно-
сти, это, как правило, объекты, у которых есть, как го-
ворят, самоподобие. Они в малом устроены так же, как
в большом.
Александр Гордон. Значит, он опознаётся по любому участку.
Дмитрий Соколов. Да, опознаётся. Но нужно, наверное, иллюстра-
цию показать какую-нибудь.
Алексей Оскольский. Использование фрактальных подходов в мор-
фологии растений, в большой мере было подготовле-
но морфологическими исследователями французских
ботаников. С одной стороны, это так называемая кон-
цепция архитектурных моделей, которая была пред-
ложена французскими ботаниками Алле и Олдеманом
в 70-е годы. Эти ботаники долгое время работали во
Французской Гвиане. Они столкнулись с необходимо-
стью описывать структуру вегетативного тела тропи-
ческих деревьев, но у них не было концептуального
аппарата. Оказалось, что та морфология растений, те
концепции, которые сложились у нас в Европе, в ле-
сах умеренного пояса, в тропиках не работают. И тогда
Алле и Олдеман предложили концепцию так называ-
емых архитектурных моделей. Дерево рассматривает-
ся как конструкция, состоящая из модулей, которые в
определённой последовательности нарастают друг на
друга. Есть разные типы модулей, разные способы на-
растания, и модели строятся комбинаторно. То есть,
у одних деревьев идёт непрерывное нарастание, ска-
жем, одной вертикальной оси, у других происходит пе-
ревершинивание. Одна ось кончается цветком, то есть
рост останавливается, у других осей рост открытый.
Возможно горизонтальное положение побегов, а воз-
можно и вертикальное. Всего известно 23 архитектур-
ных модели, некоторые комбинации не могут быть реа-
лизованы в природе. Фактически, эта такая структура-
листская концепция, которая, кстати, развивалась од-
новременно с работами Леви-Стросса. Я не знаю, чи-
тали ли Алле и Олдеман работы знаменитых француз-
ских структуралистов-гуманитариев, но наверняка ин-
теллектуальная атмосфера того времени располагала
к созданию подобных концепций…
Дмитрий Соколов. Можно я про интеллектуальную атмосферу два
слова скажу? Честность научная заставляет сказать,
что впервые на это обратил внимание Свифт. У него
есть хорошие стихи, которые всегда по этому поводу
цитируются. Он не только «Путешествия Гулливера»
написал. У него есть ещё замечательные поэмы, ра-
псодия «О поэзии», в которой он пишет (перевод Мар-
шака):
«Натуралистами открыты у паразитов паразиты.
И произвёл переполох тот факт,
Что блохи есть у блох.
И обнаружил микроскоп,
Что на клопе бывает клоп,
Питающийся паразитом.
На нём другой – ad infinitum».
Вот такая модульная структура в животном царстве.
Надо сказать, Маршак этот отрывок специально под-
собрал из разных мест этой поэмы. Мой хороший зна-
комый Дэвид Мосс из университета Манчестера по мо-
ей просьбе изучил, как Свифт это публиковал, и оказа-
лось – в английском оригинале немножко более сма-
зано сказано, а здесь у Маршака – очень здорово.
Алексей Оскольский. Ну, тогда попросим следующую иллюстрацию.
Вот другая концепция, тоже пришедшая из Франции,
это концепция псевдоциклов. Концепция псевдоцикли-
ческой эволюции, которая была предложена в 30-е го-
ды французским биологом Госаном. Он обратил вни-
мание, что у многих организмов, не только у растений,
но, например, у колониальных животных, наблюдает-
ся удивительное сходство частей и целого, и рассмо-
трел это как общую тенденцию эволюции. Например,
вот как на этой иллюстрации. Слева мы видим соцве-
тие простой зонтик, у примулы, например, справа мы
видим соцветие сложный зонтик, типичный для зонтич-
ных – морковки или, например, тмина. Здесь видим,
что структура повторяется на следующем уровне. Но
интересно, что эволюция идёт в направлении, во-пер-
вых, упрощения этих частей. То есть, эти простые зон-
тички в сложном зонтике в процессе эволюции редуци-
руются до одного цветка. А с другой стороны, вся по-
беговая система превращается в зонтик следующего
порядка. И вот Татьяна Валентиновна Кузнецова, вы-
дающийся морфолог, работавшая на кафедре высших
растений в Московском Университете, и, к сожалению,
безвременно оставившая нас, специально занималась
псевдоциклами у соцветий зонтичных. Она проследи-
ла до 5 псевдоциклов у разных зонтичных. То есть, вот
пример самоподобия, а заодно и фрактальных свойств
(таких как автомодельная симметрия) у соцветий. Это
как раз та биологическая концепция, которая просто
напрашивается на математизацию.
Дмитрий Соколов. Фракталы вошли в физику, отталкиваясь от
свойства самоподобия. Хоусдорф понятие этой самой
размерности в 18-м году сформулировал, но это всё-
таки была трудная математическая работа. А было та-
кое событие, о котором всегда принято рассказывать.
Замечательный гидромеханик Ричардсон во время ми-
ровой войны хотел сделать что-то хорошее. Его посла-
ли изучить, какова длинна береговой линии Англии.
Понятное дело, нужно как-то страну оборонять, напа-
дения с моря бывают. Вот он поизучал-поизучал во-
прос и пришёл к выводу, что бесконечная длина у бе-
реговой линии. Это даже лучше видно на береговой
линии Норвегии. У нас есть рисуночек с длиной бере-
говой линии Норвегии из известной книжки Федера о
фракталах. Видно, что вопрос о том, какова длина той
кривой, которая изображена на рисунке, зависит от то-
го, в каком масштабе мы её изучаем. Выбираем ква-
дратики побольше, и, игнорируя тонкую структуру, дли-
на береговой линии одна. Начинаем отслеживать все
эти фиорды, всю эту мелочь – длина береговой линии
начинает расти. И вот в зависимости от степени разре-
шения, она растёт больше, больше… И никакого опре-
делённого числа нет.
Александр Гордон. То есть это всё-таки конечная величина?
Дмитрий Соколов. Конечно, если вы, совсем, буквально микроско-
пическими масштабами оперируете, встаёт вопрос, как
движется береговая линия во время приливов и от-
ливов. Вопрос теряет просто смысл. Но есть диапа-
зон масштабов, где действительно наблюдается сте-
пенная зависимость длины линии береговой от степе-
ни разрешения. Да, это действительно очень похоже
на то, что получается для растений. Даже в книжках по
фрактальной геометрии есть картинки, которые назы-
вают листьями папортника. Они возникают, когда лю-
ди хотят проиллюстрировать, что такое фрактал. А с
другой стороны, люди, которые хотят объяснить, как
устроена архитектура растений, буквально такие же
картинки рисуют безотносительно ко всяким фракта-
лам. Наверное, стоит показать эти рисунки.
Это картинка более или менее произвольная из того
же Федера. Такого характера растения вполне могут
существовать.
Алексей Оскольский. Водоросли, конечно.
Дмитрий Соколов. А на самом деле, эта картинка, иллюстрирую-
щая, как происходят построения кластеров химических
соединений. А сейчас будут картинки из ботаники. Вот,
это очень изрезанная картинка, видны ярусы, как стро-
ится организация…
Алексей Оскольский. Самое главное для меня – это впечатляющее
самоподобие, то есть сходство части и целого. В чём
может быть тут ещё интерес? В традиционной морфо-
логии растений и животных рассматриваются два ти-
па сходства между частями организма – гомология и
аналогия. Скажем, рука человека гомологична крылу
птицы, потому что эти конечности имеют общее проис-
хождение, хотя и разные функции. Глаз человека ана-
логичен глазу осьминога. Это значит, что происхожде-
ние у них разное, но функция одна. Но в обоих этих
примерах всё равно сравниваются именно части. А вот
тут, когда мы имеем дело с фрактальными объектами,
часть сравнивается с целым. И как раз эти работы да-
ют законное основание для такого рода сравнения. Это
несколько нетрадиционно для биологической морфо-
логии.
Дмитрий Соколов. Я впервые об этом узнал от Татьяны Валенти-
новны Кузнецовой. Она меня пригласила на школу для
студентов-биологов кое-что из математики рассказать.
Она там блестящий доклад сделала. Я просто тогда
был потрясён, потому что всегда думаешь, ну, нарисо-
вали там какие-то красивые картинки математические,
а что действительно так бывает в живой природе… Ко-
нечно, огромная потеря, что она так рано от нас ушла.
Алексей Оскольский. Как раз, наверное, следующую картинку сто-
ит показать. То, на что вот смотрите, это растение
вполне натуральное, смоделированное на основе этих
фрактальных подходов. И подобные модели позволя-
ют уже заниматься довольно тонким анализом биоло-
гического смысла этой фрактальной организации. То
есть, скажем, здесь можно рассмотреть, как листья за-
теняют друг друга. Или что будет, если верхушку по-
бега отгрызёт какое-нибудь насекомое, как изменится
рост. Соответственно, можно моделировать различные
стратегии адаптивности, приспособления к условиям
среды. То есть эти модели, с одной стороны, красивы
и эстетичны, а с другой стороны, приобретают совер-
шенно явный биологический смысл.
Дмитрий Соколов. В таких вопросах очень легко увлечься внешней
аналогией. Но на самом деле есть мотивация биологи-
ческая, почему фрактальная природа может быть зна-
чима. В своё время Галилей обратил внимание на то,
что в живой природе должно быть такое ограничение.
Представим себе, какие бы мы были, если бы жили на
Юпитере. Галилей рассматривает этот вопрос в одной
из своих книг. И приходит к выводу, что мы должны бы-
ли бы быть карликами, потому что объём тела пропор-
ционален кубу размера, а прочность костей пропорци-
ональная квадрату размера. Но не вся правда в этой
идее Галилея. На самом деле, если мы организуем та-
кое модульное строение растения и разрешаем ему
быть фракталом, то само понятие объёма тела и пло-
щади поверхности преобразуются и можно выскочить
из этой связки между объёмом и площадью поверхно-
сти. Не исключено, что природа пользовалась этой оп-
цией, как говорится.
Алексей Оскольский. Но я бы к этому отнёсся немножко иначе, на
мой взгляд, всё-таки все эти фрактальные эффекты –
это результат общего строения, общей конституции ра-
стительного тела. Для него характерен, во-первых, от-
крытый рост, это значит, что каждый последующий при-
рост встраивается в предыдущее тело. В этом – их от-
личие от животных, у которых что-то вырастает, но что-
то постоянно теряется. И, с другой стороны, тут важна
именно модульная организация. Таковы конститутив-
ные свойства растительной формы, но они относятся
также и к грибам также, грибы всё-таки это другое цар-
ство, нежели растения. На основе этих свойств мы по-
лучаем фрактальные эффекты, подобие частей и це-
лого, и в каких-то конкретных ситуациях они безуслов-
но, имеют приспособительное значение…


Материалы к программе


Для начала полезно напомнить, что до сих пор открыты не все виды высших растений (то же самое относится, конечно, и к животным, не говоря уже о различных микроорганизмах).
Но это только одна сторона вопроса – оказывается, что за даже за обычными, хорошо знакомыми названиями растений может скрываться огромное разнообразие видов, различаемых с большей или меньшей уверенностью. Например, определитель одуванчиков представляет собой увесистую книгу.
Классическая систематика растений опирается на морфологию, т.е. науку о формах растений. С другой стороны, наука о пространственных формах – это геометрия, область математики. Очень заманчиво привлечь геометрические идеи для того, чтобы не просто различать растения на глаз, а воспользоваться здесь методами точных наук.
В последние несколько десятилетий в геометрии действительно сформировалась область, которая рассматривает подобные вопросы. Это – фрактальная геометрия. В ней изучаются красивые объекты, многие из которых напоминают листья.
Вопрос об использовании методов точных наук в систематике и морфологии становится еще более острым в связи с использованием данных молекулярной биологии (о структуре генома). Эти данные безусловно несут бесценную информацию, но воспользоваться ей не просто – данные классической морфологии наглядны и их можно анализировать, опираясь на здравый смысл, зато они часто качественные, а не количественные. Молекулярные данные количественные, но совершенно не наглядные. Нужны какие-то объективные методы для их анализа. Как устроены компьютерные программы для анализа молекулярных данных?
Почему вообще применение методов математики так хорошо пошло в физике, а успехи математических методов в систематике растений гораздо скромнее?
Комментаторы "Путешествий Гулливера" Свифта отмечают, что между мирами лиллипутов, обычных людей и великанов Бробдингнега педантично выдержано геометрическое подобие с масштабным коэффициентом 12. Свифт внимательно следил за современной ему наукой и, возможно, знал сформулированную столетием раньше идею Галилея о том, что законы природы не инвариантны относительно масштабных преобразований. В самом деле, масса тела пропорциональна L3, где L – характерный линейный размер тела, тогда как прочность костей пропорциональна L2. Поэтому скелет великана в 122=144 раза относительно менее прочен, чем скелет лиллипута, так что при достаточно большом L великана раздавит вес своего тела. Однако Свифт проницательно описывает и принципиально иную возможность геометрической организации сообщества живых существ:

«Натуралистами открыты
У паразитов паразиты,
И произвел переполох
Тот факт, что блохи есть у блох.
И обнаружил микроскоп,
Что на клопе бывает клоп,
Питающийся паразитом,
На нем другой – ad infinitum»
(О поэзии. Рапсодия. Пер. С.Я.Маршака)

Такая структура, воспроизводящая много ярусов подобных блоков все уменьшающегося размера, называется самоподобной. Свойства самоподобных фигур существенно отличаются от свойств кривых, поверхностей, пространственных областей, других привычных геометрических фигур.
Математики научились изучать самоподобные объекты в середине прошлого века, и результаты их работы широко представлены в курсах математического анализа. Однако по дурной математической традиции эти результаты принято излагать как негативные примеры неспрямляемых кривых, неквадрируемых поверхностей и других отталкивающих объектов.
Важный шаг к количественному описанию самоподобных объектов сделал Г. Минковский, более известный как один из авторов математического аппарата специальной теории относительности. Он указал, как можно единообразным образом ввести понятия длины кривой, площади поверхности и объема пространственной области.
Пусть A – какая-то фигура в пространстве. Окружим все ее точки шариками малого радиуса ε, так что объединение этих шариков образует новую фигуру Aε, которая называется ε-окрестностью фигуры A.
Вычислим теперь объем V(ε) фигуры Aε. Нетрудно проверить, что если A состоит из N точек, то V(ε) ≈ Nε3. Для отрезка кривой длины L получится V(ε) ≈ 2πLε2. Для области на поверхности, площадь которой равна S, V(ε) ≈ 2Sε. Наконец, для пространственной области объема V получим V(ε) ≈ V ε0.
Минковский предложил считать эти соотношения подобия определениями длины кривой, площади поверхности и объема. Внимательный анализ показывает, что определения Минковского слегка отличаются от тех, которые изучаются в курсе математического анализа, но очень удобны во многих задачах.
В курсе математики учат, что не всякая кривая имеет длину, не всякая поверхность имеет площадь, а не всякое тело – объем. Великий математик Ф. Хаусдорф в 1918 г. обратил внимание на то, что стандартные примеры кривых без длины, поверхностей без площади и тел без объема представляют собой фигуры, для которых

V(ε) ≈ Mεα, (1)

однако α не равно ни 3, как для точки, ни 2, как для линии, ни 1, как для поверхности, ни 0, как для пространственной области. Он предложил ввести понятие дробной размерности,

dim A = 3 – α,
(2)

а M считать мерой (т.е. обобщением длины, площади, объема), которые благодарные потомки назвали хаусдорфовой размерностью и мерой Хаусдорфа. Мера Хаусдорфа измеряется в смdim A и при целой хаусдорфовой размерности совпадает с длиной, площадью и объемом, понимаемыми по Минковскому. Хаусдорфову размерность удобно определять, строя график функции V(ε) в координатах ln V – ln ε. Тогда степенная зависимость (1) соответствует прямолинейному участку графика, его наклон дает размерность, а точка пересечения с вертикальной осью – меру.
Итак, кривые без длины, поверхности без площади, области без объема на самом деле – просто фигуры с нецелой размерностью. Еще один известный математик, О. Гёльдер, показал, что дробная размерность тесно связана с плохой дифференцируемостью функции, которая задает, скажем, плохую кривую. Напомним, что производная функции f(x) это предел отношения Δf/Δx при Δx → 0. Если этот предел не существует (скажем, бесконечен), то функция не дифференцируема, но может существовать предел

f(μ)(x)=lim Δf/Δxμ,
Δx → 0

который называется дробной производной, или показателем Гёльдера порядка μ. Дробная размерность прямо выражается через этот показатель.
Строго говоря, понятие дробной размерности применимо не только к самоподобным объектам, но оно осмыслено именно для них, причем сама размерность определяется характером подобия, а соображения Галилея оказываются неприменимыми просто потому, что у нашей фигуры нет, скажем, площади.
В первой половине XX века было обнаружено, что объекты с дробной размерностью встречаются в повседневной жизни. Более того, знание их геометрии имеет определенное, хотя и специфическое, хозяйственное значение.
Во время мировой войны выдающийся английский гидромеханик Ричардсон как образцовый гражданин стремился внести посильный вклад в оборону страны. Однако военное ведомство сомневалось в его способностях, так что поручило ему задачу, которая казалась по плечу любому – вычислить по географическим картам длину береговой линии Англии. Ричардсон подошел серьезно к важному правительственному заданию и через продолжительное время порадовал заказчика сообщением, что береговая линия Англии не имеет длины, а является объектом дробной размерности. Ответ заказчика на этот отчет история не сохранила в связи с соображениями общественной морали.
Менее известный, но гораздо более важный пример объекта с дробной размерностью представляет собой траектория броуновской частицы, или более научно – винеровского процесса, которая имеет 1/2 гёльдеровской производной и, соответственно, дробную размерность.
Ричардсон пользовался несколько иным определением дробной размерности и меры, чем те, которые даются соотношениями (1, 2). Сейчас математики построили целый набор различных размерностей самоподобных объектов.
Упомянутые и многие другие классики науки, принимавшие участие в развитии теории объектов с дробной размерностью, допустили одну небольшую, но очень важную оплошность – они не придумали красивого названия своей деятельности и не описали его в форме, хорошо доступной для потребителя. Это сделал уже в наши дни Б.Мандельброт, который ввел для объектов с дробной размерностью название фрактала и написал хорошим языком несколько книг на эту тему, что принесло ему мировую известность, несопоставимую с известностью Хаусдорфа.
Пример Мандельброта вызывает понятное чувство неприятия у профессиональных математиков. Однако в некотором смысле он представляет собой знаковое событие для нашего времени: из-за несоразмерного внимания к технической стороне вопроса и игнорирования интересов читателя работы математиков давно уже стали непонятны не только для неспециалистов, но и для математиков, специализирующихся в смежных областях. Поэтому своевременно появившаяся работа популяризатора может стать эпохальным явлением. Представляется, что именно эта особенность предопределила несомненный кризис современной математики, выражающейся в неспособности предложить синтез идей и осмысление задач, подобный тому, который на пороге XX века предложил Гильберт.
Концепция фракталов произвела огромное впечатление на научный мир. Фракталы стали привлекать для описания самых разнообразных явлений. Например, строение легких, способных организовывать эффективный обмен между кровью и воздухом в силу огромной площади, на которой происходит обмен, при ограниченном общем объеме, стали характеризовать как фрактальное. Однако постепенно энтузиазм сменяется более трезвой оценкой ситуации. Конечно, во всяком реальном теле закон (1) может поддерживаться только для какого-то ограниченного диапазона изменения ε, причем обычно этот диапазон не так и велик, чтобы настаивать на фрактальной природе объекта. Более важно другое соображение. Пусть мы в результате серьезных усилий показали, например, что фрактальная размерность легкого равна данному дробному числу. Спрашивается, насколько это приблизило нас нас к пониманию биологического смысла явления? В самом деле, для чего нужно знать, что береговая линия Англии имеет размерность 1.3? Конечно, фрактальная размерность действительно очень полезна, скажем, в том случае, когда нужно сравнить свойства реального объекта и его компьютерной симуляции.
В стандартных книгах по теории фракталов обычно не приводят примеров из ботаники. Однако рассматривание картинок из атласа высших растений убеждает в том, что границы, скажем, листьев бывают ничуть не менее изрезаны, чем береговая линия Англии, и для количественной характеристики этой изрезанности могла бы пригодиться фрактальная размерность. Конечно, только опыт работы может сказать, насколько такой признак полезен для целей систематики.
Другой пример из области ботаники связан с понятием псевдоцикла, возникновения очень сходных, но не гомологичных явлений различных масштабов в серии сопоставимых друг с другом растений. Например, соцветие может приобрести большое сходство с отдельным цветком. Нетрудно убедиться, что именно таким образом, с помощью ряда фигур, все усложняющихся и обретающих новые структурные ярусы, подобные ярусам предыдущего масштаба, и строят примеры фракталов в математике. Конечно, в ботанических примерах количество таких ярусов невелико и обычно не превосходит 3–4, а в математических работах говорят о бесконечно увеличивающемся количестве ярусов. Физик скажет, что их должно быть ну хотя бы штук десять. Конечно, полезно понимать, что понятие псевдоцикла вписывается в какой-то общенаучный контекст, но даст ли здесь теория фракталов нечто большее, может показать только опыт конкретных исследований.
В целом кажется, что концепция фракталов действительно открыла новые горизонты в понимании природы, однако конкретная роль геометрии фракталов в науке достаточно ограничена. Сегодня математика знает многие другие пути описания необычных пространственных структур, которые вполне могут представлять интерес для биологии. Другой вопрос, что, говоря современным языком, степень раскрученности этих представлений совершенно несопоставима с раскрученностью теории фракталов. Чтобы не быть голословным, приведем один из возможных примеров.
Рассмотрим популяцию бактерий, которая в начальный момент t=0 распределена в пространстве с концентрацией φ0(x). Пусть условия жизни этих бактерий пространственно неоднородны так, что их скорость размножения представляет собой гауссову случайную величину U(x) (точнее, гауссово случайное поле с достаточно быстрым убыванием пространственных корреляций) с нулевым среднем и дисперсией σ2. Если пренебречь всеми другими факторами, то концентрация бактерий в последующие моменты времени растет экспоненциально со временем и равна, очевидно,

φ(x, t) = φ0(x)exp(U(x)t).
(3)

На первый взгляд кажется, что средняя концентрация тоже должна расти экспоненциально со скоростью порядка σ. Поразительно, что на самом деле средняя концентрация бактерий растет гораздо быстрее:

<φ(x, t)> = φ0(x)exp(σ2t2/2). (4)

Хотя (4) получается из (3) с помощью непосредственного подсчета по формуле, дающей определение средней концентрации, этот результат нарушает все стандартные представления здравого смысла и статистической физики. Разгадка парадокса состоит в том, что гауссова величина U может принимать значения, сколь угодно превосходящие σ, правда, с очень малой вероятностью. Максимумы величины U образуют очень редкие максимумы в пространстве. Чем дальше такой максимум отстоит от точки, в которой находится наблюдатель, тем большее значение в нем может принять скорость роста U и тем быстрее в этой точке растет концентрация бактерий. Скорость роста средней концентрации определяется очень и очень удаленными максимумами U.
Если ввести в рассмотрение еще один фактор – диффузию бактерий с коэффициентом диффузии ν, то задача сведется к исследованию поведения решений уравнения

∂φ/∂t = Uφ + ν Δφ, (5)

которое хорошо изучено в математике и физике, поскольку оно очень похоже на главное уравнение квантовой механики – уравнение Шрёдингера.
Специалисты, изучавшие уравнение (5), первоначально рассматривали микробиологическую фразеологию как средство сделать математические выкладки более понятными. Однако анализ ссылок на этот круг работ показывает, что микробиологи отнеслись к выводам вполне серьезно. Более того, поведение величины φ до неприятности напоминает поведение людей в начальный период развития капитализма, описанное, скажем, в работах Ф.Броделя. Сначала отдельные максимумы U образуют зоны влияния, в которых концентрация φ определяется диффузией из области близкого максимума. Позже различные зоны влияния соприкасаются друг с другом и начинается конкуренция, в результате которой зона влияния более сильного максимума поглощает зону конкурента. В целом картина действительно очень напоминает картину смены Амстердама, Лондона, Нью-Йорка в качестве центров мировой экономической жизни.
Рассмотренный пример допускает самые разнообразные обобщения. Например, можно сделать случайную скорость размножения меняющейся не только в пространстве, но и во времени. Чем более сложной становится модель, тем большим становится карикатурное сходство с описанием человеческой жизни, так что хочется спросить, неужели люди в своем поведении действительно не выходят за рамки примитивного уравнения (5)?
Во второй половине ХХ века концепция фракталов привела к существенному изменению взгляда на возможные пространственные конфигурации окружающих нас тел и их структуру. Соответствующие геометрические образы были сконструированы математиками около столетия назад, но только недавно они стали достоянием широкого круга естествоиспытателей. Несомненно родство между понятиями фрактальной геометрии и некоторыми представлениями, возникшими в ходе развития ботаники.

Библиография


Галилей Г. Диалог о двух системах мира. М.; Л., 1948
Гомологии в ботанике: Опыт и рефлексия. СПб., 2001
Жизнь растений/Под ред. А.Л.Тахтаджян. М., 1982
Зельдович Я.Б., Соколов Д.Д. Фракталы, подобие, промежуточная асимптотика//Успехи физ. Наук. 1985. Т. 146. № 3
Кузнецова Т.В., Пряхина Н.И., Яковлев Г.П. Соцветия: Морфологическая классификация. СПб., 1992.
Мун Ф. Хаотические колебания. М., 1990
Павлинов И.Я., Микешина Н.Г. Принципы и методы геометрической морфометрии//Журнал общей биологии. 2002. Т. 63. № 6
Садовничий В.А. Математическое образование: настоящее и будущее. М., 2000.
Свифт Дж. Памфлеты. М., 1955
Федер Е. Фракталы. М., 1991
Франковский А. Примечания/Дж. Свифт. Путешествия Гулливера. Л., 1928 Anufriev A., Sokoloff D. Fractal properties of geodynamo models//Geophys. Astrophys. Fluid Dyn. 1994. V. 74. № 1–4
Avnir D., Biham O., Lidar D., Malcai O. Is the geometry of nature fractal?//Science. 1998. V. 279
Kuznetzova T.V. Angiosperm inflorescences and different types of their structural organization. Flora, 1988
Mandelbrot B.B. The Fractal Geometry of Nature. New York, 1982
Rothmaler W. Exursionsflora. Bd. 3. Berlin, 1987
Sokoloff D. Fractals self-similarity and structures. Wulenia, 2002
Zeldovich Ya. B., Ruzmaikin A. A., Sokoloff D. D. The Almighty Chance. Singapur, 1990

  • ДРУГИЕ МАТЕРИАЛЫ РАЗДЕЛА:
  • РЕДАКЦИЯ РЕКОМЕНДУЕТ:
  • ОСТАВИТЬ КОММЕНТАРИЙ:
    Имя
    Сообщение
    Введите текст с картинки:

Интеллект-видео. 2010.
RSS
X