загрузка...

Модели эффекта Харста

  • 16.06.2010 / Просмотров: 7427
    //Тэги: Гордон   математика  

    Как с помощью математических моделей вычислить с высокой долей вероятности возникновение природных катастроф? Если природные системы Земли нелинейные и нестационарные, то какие природные явления являются причиной потери равновесия? О математических моделях эффекта Харста - математики Вячеслав Найденов и Ирина Кожевникова.

загрузка...







загрузка...

Для хранения и проигрывания видео используется сторонний видеохостинг, в основном rutube.ru. Поэтому администрация сайта не может контролировать скорость его работы и рекламу в видео. Если у вас тормозит онлайн-видео, нажмите паузу, дождитесь, пока серая полоска загрузки содержимого уедет на некоторое расстояние вправо, после чего нажмите "старт". У вас начнётся проигрывание уже скачанного куска видео. Подробнее

Если вам пишется, что видео заблокировано, кликните по ролику - вы попадёте на сайт видеохостинга, где сможете посмотреть этот же ролик. Если вам пишется что ролик удалён, напишите нам в комментариях об этом.


Расшифровка передачи


Вячеслав Найдёнов. Если бы нужно было опре-
делить три ключевых слова нашей беседы, я бы на-
звал следующее: нелинейность, сложность и вероят-
ность. И речь пойдёт о нелинейных универсальных ме-
ханизмах, приводящих к сложному поведению некото-
рых природных систем, для описания которых нужно
существенное применение вероятностных методов.
Именно показатель и эффект Харста являются теми
ключевыми эффектами, которые указывают на слож-
ность этой природной системы. И речь у нас пойдёт о
водах суши – морях, реках и озёрах.
В 1951-м году британский климатолог Харольд
Харст, проведший более 60 лет в Египте, где он уча-
ствовал в гидротехнических проектах на Ниле, опи-
сал неожиданный эффект поведения стока этой реки.
Чтобы понять его суть, рассмотрим процесс наполне-
ния Средиземного моря водами Нила, куда он впада-
ет. Если мы предположим, что расходы воды каждый
год в реке одинаковы, то мы получим, что за время Т
суммарный расход воды будет пропорционален полно-
му времени – Q пропорционально Т. Если мы предпо-
ложим, что сток Нила – это последовательность слабо
зависимых, случайных величин, что ближе к действи-
тельности, то мы получим, что суммарный расход про-
порционален Q в степени одна вторая. То есть напол-
нение происходит гораздо медленней. Вот это соотно-
шение и получило название закона Харста, а показа-
тель степени – показателя Харста.
Почему так важно различие в этих степенях? Раз-
личие важно по следующей причине. Приведём та-
кой пример, более доступный, из небесной механики.
Если мы рассмотрим задачу о вращении планеты во-
круг солнца и примем, что сила тяготения между те-
лами обратно пропорциональна квадрату расстояния,
то получим классический результат Кеплера – плане-
та движется по эллипсу. Если мы примем, что сила тя-
готения обратно пропорциональна кубу расстояния, то
есть изменим немного степень, то мы получим следу-
ющий эффект: планета либо падает на своё солнце,
либо уходит в космическое пространство. Кстати, эту
задачу рассматривал сам Ньютон в своих «Началах».
Другими словами, при изменении степени мы полу-
чаем разные миры. Один мир – мир падающих яблок
и лун, движущихся по правильным орбитам, а другой
– мир с совершенно иными свойствами. Вот так при-
мерно с эффектом Харста для движения воды. То есть,
если водный мир следует эффекту Харста, то это мир
катастрофических наводнений, паводков, мир внезап-
ных подъёмов и падений уровня воды в водоёмах. Это
бурный, неустойчивый мир. Если бы водный мир не
следовал эффекту Харста, то мы получили бы спокой-
ный мир без водных катастроф.
Задача описания этого эффекта очень волновала
учёных. И математическим образом, который позво-
ляет описывать этот эффект, стало фрактальное бро-
уновское движение. Что такое фрактальное броунов-
ское движение, Ирина Аркадьевна может пояснить.
Александр Гордон. Только можно я уточняющий во-
прос сразу задам? Ведь Харст получил для Нила не
0,5, как было предположено, а 0,7. Именно поэтому в
степенях такая большая разница, и это изменяет, соб-
ственно, описание системы.
Вячеслав Найдёнов. Да. Совершенно верно, ни один линейный про-
цесс не удовлетворяет этому, не удовлетворяет ему и
классическое броуновское движение, которое являет-
ся кирпичиком для описания многих сложных систем. И
для этого нам пришлось придумать новый тип случай-
ных процессов – фрактальное броуновское движение.
Ирина Кожевникова. В 1940-м году академик Ан-
дрей Николаевич Колмогоров рассмотрел гауссовские
процессы с непрерывными траекториями, нулевым
математическим ожиданием, и дисперсией, пропорци-
ональной времени в степени 2. Время больше или рав-
но нулю, а Н изменяется от нуля до единицы. Если
мы положим Н равным одной второй, то это получится
классический случай, классическое броуновское дви-
жение или классический винеровский процесс.
Этими процессами занимались потом очень многие
учёные, в частности, среди них Мандельброт и Ван
Несс, и именно они присвоили этому процессу назва-
ние «фрактальное броуновское движение».
Теперь. Приращения фрактального броуновского
движения стационарны. Корреляционная функция при
Н, большем, чем одна вторая, медленно, степенным
образом, как показано на рисунке, убывает. Покажи-
те, пожалуйста, рисунок по теме 1 и рисунок 2. А спек-
тральная плотность имеет при нулевой частоте инте-
грируемую особенность, и для достаточно широкого
диапазона частот тоже степенным образом убывает в
зависимости от значения показателя Харста Н.
Александр Гордон. Давайте теперь попробуем перевести на рус-
ский язык. Выяснилось, что классическое броуновское
движение в том виде, в каком оно описано….
Ирина Кожевникова. Это только частный случай данного процесса.
Александр Гордон. И была выведена некая закономерность, кото-
рая носит ступенчатый характер, и это описывается
уже фрактальным броуновским движением. Верно?
Ирина Кожевникова. Да, фрактальным. Но функция не совсем сту-
пенчатая, а имеющая степенной характер.
Александр Гордон. Степенной характер.
Ирина Кожевникова. Степенной характер корреляционной функции.
Именно степенной, такое медленное затухание. Бла-
годаря такому медленному затуханию спектральная
плотность, как функция частоты, при нулевой частоте
обращается в бесконечность, то есть имеет интегриру-
емую особенность. А дальше для некоторого диапазо-
на частот в окрестности нуля убывает степенным обра-
зом. А за пределами нуля она уже ведёт себя, соответ-
ственно, по-другому.
Теперь я расскажу о траекториях приращений фрак-
тального броуновского движения и траекториях само-
го фрактального броуновского движения. Траектории
фрактального броуновского движения ввиду слабого
убывания корреляционной функции могут иметь боль-
шие выбросы. А траектория самого фрактального бро-
уновского движения содержит длинные серии положи-
тельных и отрицательных отклонений от математиче-
ского ожидания процесса, что характерно для многих
геофизических временных рядов.
Кроме того, фрактальное броуновское движение
обладает свойством статистического самоподобия.
Это аналогично фракталам, простым фракталам, то
есть, если мы смотрим через лупу, орнамент повторя-
ется. Здесь же, происходит то же самое, только с точки
зрения распределения вероятности.
Харст в 1951-м году и в последующие годы занимал-
ся вычислением оценки придуманным им же самим
методом. И он обработал 690 временных рядов, опи-
сывающих 75 различных явлений природы. И для при-
ращения уровня различных водоёмов, например, озе-
ра Гурон в Канаде и других озёр, для приращения уров-
ня, для стоков и уровней различных рек, для измене-
ния ширины годичных колец деревьев, для темпера-
турных рядов, для осадков, он всюду получил показа-
тель Харста…
Александр Гордон. Больше 0,5.
Ирина Кожевникова. Больше 0,5. Мы тоже обрабатывали, конечно,
меньше, чем 690, но тоже довольно много рядов обра-
батывали. Мы обрабатывали приращение колебания
уровня, вычисляли оценку показателя Харста совре-
менными статистическими методами, другими совер-
шенно.
Александр Гордон. Для каких объектов?
Ирина Кожевникова. Для объектов: колебание уровня Каспийского
и Мёртвого морей, озёр Балхаш, Чаны, Чад, Большое
Солёное озеро, для стоков рек Волги, Днепра, Нема-
на, Дуная и многих других. То же для ширины колец
различных деревьев и для температурных рядов, это –
глобальная температура Северного полушария, сред-
негодовые значения температур в Москве и в Петер-
бурге. И тоже всюду получили значение показателя
Харста больше 0,5. Кроме того, Харст обрабатывал
исторический ряд наблюдения за уровнями Нила. То
есть с 622-го года по 1469-й год и современный ему
ряд – и всюду получалось Н больше 0,5. В результате,
эффект Харста получил такую математическую интер-
претацию, что он характеризует случайный процесс с
медленным затуханием корреляционной функции.
Александр Гордон. И как следствие…
Ирина Кожевникова. И как следствие является, что спектральная
плотность имеет интегрируемую особенность при ну-
левой частоте и отсутствует линейность у модели, опи-
санной фрактальным броуновским движением.
Вячеслав Найдёнов. Первый вопрос, который возникает: откуда мо-
жет взяться такая медленная релаксация динамиче-
ской системы? Потому что, если описывать эту модель
с помощью линейной математики, то мы такого эффек-
та не получим. Мы получим экспоненциальное затуха-
ние корреляции. Вопрос: как придумать модель, про-
стейшую хотя бы модель, чтобы в качестве спектраль-
ной функции или корреляционной функции мы полу-
чили требуемый результат? Ясно, что в чистом виде
фрактальное броуновское движение не может быть ис-
пользовано, потому что оно имеет недифференцируе-
мые траектории. А в физической системе, описывае-
мой законами сохранения, везде стоят производные.
Поэтому можно было только описать свойства, ко-
торые имеет фрактальное броуновское движение,
это степенное затухание корреляции, неограниченный
спектр при нулевой частоте и некоторая зависимость
от частоты. Мы рассуждали таким образом. Многие ги-
дрологические явления, например, дождевой паводок
на реке, формируются следующим образом. Выпада-
ют осадки, поднимается уровень воды, потом он спа-
дает, потом выпадают ещё осадки, потом уровень спа-
дает.
То есть этот процесс мы можем приблизить к им-
пульсным случайным процессам, у которых время на-
ступления максимума неизвестно и сама амплитуда
неизвестна. Но для того чтобы построить такой про-
цесс, мы должны выдвинуть постулаты по этой мо-
дели, описывающие, какой она должна быть. Модель
должна быть такой. Описываться законом сохранения,
то есть импульса баланса тепла и вещества, допускать
ясную математическую интерпретацию и показатель
Харста (при всём уважении к этому показателю, это всё
же не гравитационная постоянная и не скорость све-
та) должен зависеть от физических свойств этой систе-
мы. Мы построили такой процесс, как для дождевых
паводков, так и для динамики влажности почвы. И по-
лучили результаты такого плана. При стохастической
аппроксимации выпадения дождей мы предположили,
что здесь нет эффекта Харста, и хотели его получить
путём нелинейного преобразования выпавших осад-
ков на водосборе. И получили процесс, который харак-
теризует динамику влажности почвы – как модельный
процесс. Чтобы на этом процессе увидеть все харак-
терные черты этого явления.
Ирина Кожевникова. Мы рассмотрели нелинейную стохастическую
модель инфильтрации воды в почве, демонстрирую-
щую эффект Харста. Была принята простая стохасти-
ческая модель дождей. За большой промежуток вре-
мени число выпадающих дождей является случайной
величиной, распределённой по закону Пуассона с из-
вестным параметром, равным среднему числу осадков
за сутки. Затем предположили, что продолжительность
времени между дождями существенно больше продол-
жительности самого дождя. Тогда слой осадков можно
представить в виде импульсного процесса.
На основании принятой модели мы определили ам-
плитуды импульсного процесса из дискретного урав-
нения для амплитуд, которые являются случайными
величинами, и функции формы спада, которые опре-
делили из нелинейного дифференциального уравне-
ния для функции форм спада. Пожалуйста, рисунок 4
по теме 1. Мы получили, что функция формы спада
является степенной, медленно затухающей функцией
времени и детерминированной функцией. А импуль-
сы являются случайными величинами, и плотность их
показана на рисунке 4-Б. Причём эта плотность хоро-
шо аппроксимируется степенным распределением ве-
роятности.
Так как функция формы спада есть медленно зату-
хающая степенная функция времени, то отсюда неме-
дленно следует, что корреляционная функция тоже ме-
дленно затухает на бесконечности. А это означает, что
спектральная плотность такого процесса хорошо ап-
проксимируется (в достаточно близкой окрестности ну-
ля, для широкого диапазона частот) затухающей сте-
пенной функцией частоты. Вот как показано на рисунке
4-В. А сама реализация вот такого процесса показана
на рисунке 4-А.
Это всё характеризует приращение фрактального
броуновского движения.
Александр Гордон. Простите, на рисунке 4-А по оси абсцисс – что?
Я просто не вижу.
Ирина Кожевникова. На рисунке 4-А по оси абсцисс – это время. А
по оси ординат – амплитуды импульсного процесса.
Это куски, сшитые беспорядочным образом, со случай-
ными амплитудами и детерминированными функция-
ми спада. Оказалось, что для такого импульсного про-
цесса можно вычислить теоретически. И показатель
Харста зависит в данном случае от водно-физических
свойств почвы и испарения. Таким образом, одной из
возможных причин эффекта Харста является медлен-
ное возвращение нелинейной динамической системы
к своему состоянию равновесия.
Вячеслав Найдёнов. Медленность здесь очень важна, потому что,
например, подъём уровня на Ниле составляет пример-
но 4 месяца, а спад – целых 8 месяцев, что говорит о
медленной реакции этой системы. И здесь можно до-
бавить следующее, рисунок, о котором вы спросили,
это такая причудливая смесь хаотических и детерми-
нированных сигналов. То есть, когда мы находимся на
спаде, мы находимся в детерминированной области. А
когда происходят выбросы этого процесса, то есть мо-
мент выпадения осадков, тут возникают случайности.
А если говорить о других задачах (не только же при-
родными задачами занимались специалисты в обла-
сти нелинейных динамических систем), то такие зада-
чи, у которых есть подобные регулярные ставки, и ха-
рактеризуются медленным затуханием корреляцион-
ной функции.
Здесь так можно подвести итог этой первой темы
нашего обсуждения. Бассейн Нила огромный – 2,8
миллиона квадратных километров. Он представляет
собой нестационарную, неравновесную, нелинейную
природную систему. Потоки влаги и тепла с Индийско-
го океана постоянно выводят эту систему из равнове-
сия. За счёт процессов диссипации и второго закона
термодинамики, закона возрастания энтропии, систе-
ма всё время стремится к своему состоянию равнове-
сия. Но эта релаксация происходит довольно медлен-
но. Вот эту особенность, на наш взгляд, функциониро-
вания бассейна Нила и подметил британский климато-
лог Харст. Но хочу подчеркнуть, что это не единствен-
ный медленный процесс, который может определить
этот эффект.
Таких процессов может быть много. В частности, мы
рассматривали медленный процесс – это инфильтра-
ция, движение воды в почвы или по поверхности бас-
сейна. Если не очень толстый слой воды, то всё это
медленные процессы.
Но есть такие важные процессы как испарения. Они
очень медленные. Если, например, на Каспийском мо-
ре в год испаряется один метр слоя воды, то, напри-
мер, в наших климатических условиях – полметра в
год. Так вот эти процессы исключительно важны для
возникновения эффекта Харста, который был нами об-
наружен и в колебаниях уровня Каспийского моря.
Почему Каспийское море? Почему важен механизм
колебания этого моря? Потому что на основе многих
лет изучения оно демонстрировало уникальный харак-
тер своего поведения. Например, Марио Сануто ещё
в XII веке писал: «Море поднимается каждый год на ла-
донь и многие хорошие города уничтожены». Измене-
ние физико-географических условий вследствие подъ-
ёма уровня Каспийского моря привело к гибели Хазар-
ского каганата и исчезновению хазар, так как экономи-
ка страны не выдержала потери двух третей его тер-
ритории. Гумилёв так драматически описывает гибель
хазар: «И удар русов, гузов и печенегов так покончил с
самостоятельностью полузатопленной страны».
На пойтингеровской таблице (есть такая римская до-
рожная карта населённого мира, она датируется пя-
тым веком нашей эры) уровень Каспия показан на
20 метров выше современного. И современные дан-
ные, которые приведены на рисунке, показывают ха-
рактерные резкие изменения уровня Каспийского мо-
ря. Возник вопрос: как найти механизм для объясне-
ния этого явления? Предположим, что испарения с по-
верхности бассейна, которые составляют очень зна-
чительную часть водного баланса и бассейна и моря,
немонотонно зависят от влагозапасов. А как это мо-
жет быть? В общем, здесь такой механизм возника-
ет. Теплоёмкость сухих компонентов грунта – едини-
ца. Теплоёмкость воды в четыре раза больше. Поэтому
при увлажнении бассейн Каспия увеличивает свою те-
плоёмкость, тратятся большие затраты солнечного те-
пла на нагрев, испарения уменьшаются, и таким обра-
зом мы получаем механизм положительной обратной
связи, который обычно дестабилизирует систему. Что
будет в окрестности этого механизма – представляет
собой расшифровку механизма его колебаний.
У нас получилось, что в окрестности неустойчивого
уровня существуют ещё два слабоустойчивых уровня,
в результате чего море под воздействием осадков эво-
люционирует из одного состояние к другому. Расстоя-
ние между ними может быть несколько метров, и в этом
состоит квазициклический характер его состояния, ко-
торый и описывают те учёные-путешественники, о ко-
торых я говорил. Мы такую модель построили стати-
стически.
Ирина Кожевникова. Море стояло около ста лет на довольно высо-
кой отметке – порядка минус двадцати пяти метров (за
ноль принят уровень Балтийского моря). Затем оно не-
ожиданно, примерно за 20 лет, перешло к отметке ми-
нус 28. Простояло так 40 лет, а потом снова начался
неожиданный подъём, который ошеломил всех.
Александр Гордон. Я помню, что были социальные теории – вини-
ли большевиков, которые Волгу перекрыли, и поэтому
стоки вод в Каспий уменьшились.
Ирина Кожевникова. Нет, была взята малая часть. То есть это не мо-
гло так существенно изменить состояние.
Александр Гордон. Я понимаю. Теперь оказывается, что не могло.
Ирина Кожевникова. Прыжок на два с половиной метра – таким обра-
зом объяснить не получится.
Мы описали этот процесс с помощью нелинейной
стохастической модели процесса колебания уровня
Каспийского моря. Наша модель состоит из детерми-
нированной части и случайной части. Случайная часть
– это остаточная последовательность нашей модели,
она аппроксимируется, мы её грубо аппроксимирова-
ли авторегрессией первого порядка с достаточно вы-
сокой корреляцией. И именно она обеспечивает пере-
ходы. Оценку параметров этой модели мы провели со-
временными методами математической статистики на
основании натурных данных, наблюдений с 1830-го го-
да (ещё со времён Пушкина записывался уровень Ка-
спийского моря) и по наше время.
Характерная особенность решения или реализации
является наличие переходов от высокого состояния –
минус 25,46, к низкому – минус 28,3, а средним явля-
ется минус 26,62. То есть море совершает такие пере-
ходы примерно один раз в 200 лет. А время перехода
гораздо меньше. Это примерно 20, 30, 40 лет. Причём
море может иногда подняться до какого-то уровня и по-
том опуститься снова, то есть не завершить переход.
Вот такая возможная реализация была получена ме-
тодом математического моделирования.
Александр Гордон. Поэтому «псевдоцикличностью» это и называе-
те, что здесь цикл может быть не завершён?
Вячеслав Найдёнов. Мы называем это квазицикличностью, потому
что это случайная величина. Цикл, это как в синусои-
де, а это случайная величина, которой не может быть
приписано одно значение.
Александр Гордон. Но тут сразу возникает вопрос: насколько вы мо-
жете экстраполировать полученные вами значения и,
следовательно, имеет ли ваша теория предсказатель-
ные функции?
Вячеслав Найдёнов. Предсказательных функций она, по сути дела,
имеет немного. Она может на такие вопросы ответить:
почему возникают такие переходы? И если бы у нас
было предположение, что такое возможно, я не думаю,
чтобы так легко согласились на переброску рек в своё
время. Тогда признали, что падение уровня до минус в
двадцать девять – это навеки, и поэтому решили: «Пе-
ребросим реки и будем увеличивать уровень за счёт
перебрасываемой воды 100 лет и потом увидим, как
получается положительный эффект». Вот если бы бы-
ла такая теория, на мой взгляд, то не так бы легко это
проходило – переброска рек.
Во-вторых, мы можем, исходя из темы нашей пере-
дачи, давать вероятностный прогноз. То есть, мы мо-
жем вот так сказать: «Сегодня отметка какая? Како-
ва вероятность приблизиться к отметке минус 25,6, за
сколько лет и какова вероятность придти назад в ис-
ходное состояние – минус 28,3, и сколько лет длит-
ся этот переход?» Вот такова реальность. Потому что
вероятность уже не ассоциируется с незнанием. Это
принципиальная особенность нашего мира. И я думаю,
в ваших предыдущих передачах эта тема уже не раз
звучала.
Александр Гордон. Разумеется.
Ирина Кожевникова. Наша модель объясняет, почему не сбывались
прогнозы, построенные на основе линейных моделей.
Кроме того, аналогичные модели мы построили для
других бессточных водоёмов – для Мёртвого моря, для
озёр Балхаш, Большое Солёное, Чаны, Чад и так да-
лее. И везде мы получили то же самое. И основным об-
щим, характерным свойством всех этих решений явля-
ется бимодальность гистограмм. Пожалуйста, покажи-
те рисунок 3 по теме 2. Все эти гистограммы – бимо-
дальные. Сверху Каспийское море, потом озеро Чад,
потом Мёртвое море.
Теперь, почему не сбывались эти прогнозы? Потому
что линейная модель имеет только один устойчивый
уровень состояния. И каждый переход воспринимает
как чрезвычайно редкое событие с очень малой веро-
ятностью. Линейные модели использовались, конечно,
для обоснования переброски северных рек. И исполь-
зуются, возможно, и сейчас тоже для каких-то целей.
Кроме того, мы рассчитали показатели Харста для
приращения уровня Каспийского моря и стока Волги.
Сток Волги занимает 80 процентов от стоков всех рек,
впадающих в Каспийское море. Мы получили близкие
значения. Затем мы рассчитали эти показатели для не-
которых объектов бассейна Каспийского моря – тем-
пературы воды в Астрахани, в Казани, среднегодовых
значений температур. Тоже получили показатель Хар-
ста больше, чем одна вторая. То есть это такая систе-
ма, которая характеризуется нелинейными свойства-
ми.
Вячеслав Найдёнов. Я хотел сказать, что есть эффект, который род-
ственен эффекту Харста и дополняет его. Это так на-
зываемый степенной закон распределения вероятно-
стей. Что это за закон? Вероятности катастрофиче-
ских наводнений, в которых гибнут люди, убывает с
ростом числа жертв этих наводнений, не экспоненци-
ально, а по степенному закону, то есть очень медлен-
но. Говоря другим языком, можно сказать, что веро-
ятности этих наводнений гораздо выше, чем приня-
то считать. Возникает тогда вопрос: как рассчитывать
вероятности таких наводнений, как описать физиче-
ский механизм, который приводит к степенному зако-
ну затухания распределения вероятностей, и как по-
строить удобную аналитическую функцию, чтобы мож-
но было бы на основе этой придуманной нами функ-
ции правильно подсчитать вероятность этих катастро-
фических наводнений? Или, по крайней мере, согласо-
вать их с известными данными по степенной статисти-
ке, которая широко применяется в американских рабо-
тах. Но там ничего не говорится о механизме.
Так вот, почему это важно? Важно потому, что в 20-
е годы в Нидерландах правительственный комитет по
защите от наводнений принял максимальный уровень
воды 390 сантиметров. На этот уровень предполага-
лось рассчитывать защитные сооружения.
Александр Гордон. Это от уровня моря?
Вячеслав Найдёнов. Нет, на уровне внезапного подъёма воды.
Александр Гордон. Ну, 390 от уровня моря.
Вячеслав Найдёнов. Такой уровень возможен раз в 10 тысяч лет. Ги-
дротехники не стали ориентироваться на столь редкое
событие, взяли отметку 340 сантиметров. Стремление
удешевить строительство привело к трагедии голланд-
ского урагана, вызвало большие разрушения и самое
большое несчастье – погибло около 2000 человек.
Таким образом, правильное определение вероятно-
сти этих катастроф нам очень важно. Так вот, мы по-
смотрели на эту задачу и построили простую модель,
заключающуюся в расчёте стока, в который входят
осадки, испарения, сток и влагозапасы бассейна. Та-
кая модель описывается стохастическим дифферен-
циальным уравнением. Мы написали уравнение Фок-
кера-Планка-Колмогорова для этой системы и полу-
чили достаточно простое распределение – со степен-
ным затуханием функции распределения вероятности
при больших величинах этого стока. А поскольку мож-
но предполагать, что масштабы этого бедствия функ-
ционально связаны с расходом воды и уровнем воды,
мы стали использовать эту функцию для расчёта ката-
строфических наводнений на разных реках. Мы начали
с Невы. Потому что для неё посчитаны детальные ги-
дродинамические модели, и можно было сравнить эту
теорию с гидродинамическими теориями наводнений.
Ирина Кожевникова. Мы взяли эту плотность степенного распреде-
ления, в простейшем случае она зависит от одного па-
раметра «бета» и обладает следующими свойствами.
Во-первых, плотность степенного распределения сте-
пенным образом затухает, когда её аргумент стремит-
ся к нулю, и тем медленнее, чем меньше параметр «бе-
та». И, кроме того, если «бета» больше, то она доста-
точно быстро убывает. И, во-вторых, моменты поряд-
ка «целая часть параметра „бета“ обращаются в беско-
нечность для этого степенного распределения. Таким
образом, если у нас „бета“ приняло значение между
двумя и тремя, то „целая часть параметра бета“ рав-
но двум и степенное распределение не имеет диспе-
рсии. То есть дисперсия обращается в бесконечность.
Таким образом, соответствующий случайный процесс
должен совершать гигантские выбросы, чтобы набрать
такую дисперсию. Действительно, существует такая
северная горная река Тура, которая протекает в Эвен-
кийском Национальном округе, в горах, между реками
Енисеем и Леной, и для неё оценка параметра „бета“
равна 2,63. То есть там имеют место гигантские выбро-
сы.
Вообще говоря, применение степенного распреде-
ления в корне меняет въевшееся в плоть и кровь пред-
ставление о надёжности и риске. Вот мы рассмотрели
максимальные уровни для реки Невы. И для того, что-
бы исследовать повторяемость наводнений, мы рас-
смотрели наше степенное распределение и принятое в
гидрологии гамма-распределение. Вот крупнейшее на-
воднение на реке Неве произошло в Петербурге. Его
описал Пушкин в поэме «Медный всадник». Он писал,
что «вода и больше ничего» – настолько залило Пе-
тербург. Уровень воды реки Невы 19 ноября 1824-го
года достиг 421 сантиметра. Если использовать гам-
ма-распределение, то такое наводнение повторяется
один раз в 22 тысячи лет. То есть оно является чрезвы-
чайно редким и совершенно невероятным.
А если использовать степенное распределение и
рассчитать повторяемость, то оно происходит один раз
в 667 лет и является, в общем, вполне реальным.
Следующее крупное наводнение произошло 23 сен-
тября 1924-го года. Уровень в реке Неве был 380 сан-
тиметров. С точки зрения гамма-распределения такое
наводнение повторяется раз в 2700 лет. А с точки зре-
ния степенного распределения, оно повторяется один
раз в 2,5 века и является вполне реальным событи-
ем. Получив это, мы сравнили нашу модель с гидроди-
намическими моделями, которые были разработаны в
Петербурге. И вот в таблице видно, что наша модель
и гидродинамические модели очень хорошо соответ-
ствуют друг другу. А плотности степенного распределе-
ния и гамма-распределения хорошо совпадают в сред-
ней части и очень сильно различаются в области ката-
строфических наводнений. Именно этим и объясняет-
ся разница в такой повторяемости.
Вячеслав Найдёнов. Я хотел бы здесь добавить, что гидродинами-
ческие модели, которые использовались для расчёта и
описания наводнений, неявно, – и явно, конечно, – учи-
тывали нелинейный характер воды движения в Фин-
ском заливе. Именно они и дали такой правильный ре-
зультат – с нашей точки зрения.
Мы рассчитывали натурные данные конечно не
только для Невы, но и для других рек. Например, Ян-
цзы. Хорошо известно, что там в 1931-м году произо-
шло крупнейшее наводнение, унёсшее 1,3 миллиона
жизней. Что оказалось здесь? Мы рассчитывали на-
воднение 54-го года, по 31-му году у нас не было дан-
ных. Оказалось, везде наблюдается одна и та же кар-
тина: невероятное, с точки зрения обычных формул ги-
дрологии, оказывается вероятным с точки зрения сте-
пенного закона. То есть, нужен пересмотр всех этих
явлений с точки зрения правильного описания стати-
стики редких событий.
Исследовали такую реку – Западная Двина. То же
самое. В Витебске в 31-м году было крупнейшее навод-
нение. Обычные формулы дают – невероятно. Наша
формула даёт раз в шесть большую вероятность. Че-
рез три года это наводнение повторяется. И в Миссури
мы анализировали максимальный расход воды, потом
исследовались высокие уровни воды в Амуре. Потом
исследовали (правда, тут маловато данных, но, тем не
менее, из-за любопытства), например, наводнение на
Северном Кавказе прошлым летом, наводнение в Че-
хии и Германии – исследовались июльские и августов-
ские расходы воды в Эльбе.
Везде наблюдалась та же картина. Вероятность на-
воднений, вычисленных на основе такого вот экспо-
ненциального семейства, в 6, 7 (и даже больше, если
особо выдающиеся наводнения) больше вероятности
по гамма-распределению.
Ещё тут важен и такой момент. Каковы результа-
ты степенной статистики? Ирина Аркадьевна уже гово-
рила, что ущерб может приобретать неограниченную
дисперсию. Более того, иногда может и математиче-
ское ожидание не иметь конечного результата. То есть,
возникает вопрос, не могут же на планете существо-
вать бесконечные силы наводнения?
Александр Гордон. Всемирный потоп.
Вячеслав Найдёнов. Да, да, вроде того. Надо предложить какую-то
конструктивную гипотезу. Мы выполнили анализ то-
го стохастического дифференциального уравнения, о
котором я говорил, и оказалось, что этот степенной
закон, который возникает за счёт нелинейной связи
между стоком и влагозапасом, и характеризующийся
сильной нелинейной связью, с ослабеванием этой свя-
зи начинает постепенно сходить на нет. И в области
больших значений исследуемой величины вырождает-
ся в гауссовский закон, то есть экспоненциальный. Но
в достаточно широкой области он справедлив. А по-
скольку сейчас мы живём в такую климатическую эпо-
ху, что увлажнённость суши ещё не так велика (при-
мерно 20-40 сантиметров в десятиметровом слое воды
– это достаточно мало), то такие гигантские наводне-
ния происходили в прошлом, случаются в настоящем,
и ещё будут случаться в будущем. Потому что ограни-
чения на расход воды, на увлажнённость речных бас-
сейнов ещё далеко не достигнуты.
Александр Гордон. Предела ещё они не достигли?
Вячеслав Найдёнов. Да, поэтому можно показать, и показано, и да-
же опубликованы математические работы, которые по-
казывают ограничение этого степенного закона. С точ-
ки зрения математической физики можно сказать, что
этот степенной закон представляет собой промежуточ-
ную асимптотику, характерную для многих задачи фи-
зики.
Но что касается эффекта Харста, который мы рас-
смотрели с разных позиций, то в некоторых работах
эта расходимость спектральной плотности, медленное
затухание корреляции объясняется следующим эф-
фектом – возникновением хаоса в динамических си-
стемах. Есть такие работы. Но для того чтобы нам как-
то использовать такие работы, мы, изучая природные
явления, должны предложить свою теорию динамиче-
ского хаоса природных явлений. Потому что свойства
этого хаоса ещё далеко не изучены и не известны,
поэтому и идут такие дебаты по проблемам климата.
Мы решили рассмотреть задачу, в которой воды суши
участвуют очень активным образом. Какая это зада-
ча? Мы написали уравнение теплового баланса земли,
то есть Солнце нагревает Землю, часть тепла погло-
щается, часть излучается, часть уходит в космическое
пространство. Написали уравнение водного баланса,
уравнение динамики речного стока. Написали уравне-
ние баланса диоксида углерода за счёт выделения его
с океанов или с суши. Таким образом, мы получили
простую нелинейную систему.
Ведь надо учитывать такие важнейшие климатиче-
ские параметры, как альбедо – функция увлажнённо-
сти. То есть альбедо болот, например, в несколько раз
меньше, чем альбедо пустынь. И это хорошо просма-
тривается по спутниковым данным, по которым у пу-
стыни Сахары очень высокое альбедо. Так вот, ока-
зывается, что по мере увлажнения суши тоже возни-
кает положительная обратная связь. Увлажнённость
растёт, планета сильнее разогревается, океаны боль-
ше испаряют, больше влаги попадает на сушу, влаж-
ность снова растёт. Но эта положительная связь из-
вестна в климатологии. А вторую положительную связь
я уже называл при анализе динамики колебаний уров-
ня Каспийского моря.
Оказалось очень важным, что эта система может
быть сведена к системе нелинейных осцилляторов, ти-
па Дюффинга или Ван дер Поля, а тепловой режим
планеты здесь фигурирует в качестве вынуждающей
силы для этих осцилляторов. Так вот, оказалось, что
решение этих уравнений может иметь сложный не-
предсказуемый характер – хаотический характер, как
говорят специалисты в области нелинейной динамики
и других нелинейных задач.
Вот на рисунке это хорошо видно. Здесь рассмотре-
ны две траектории по реализации глобальной темпе-
ратуры приземного слоя атмосферы. Мы видим, что
на каком-то отрезке времени траектории начали рас-
ходиться. То есть по существу мы получили при одних
и тех же условиях две реализации. Эта существенная
зависимость решения от начальных условий говорит
нам как раз о хаосе в этих системах.
Что здесь ещё важно? Мы видим, что возможны рез-
кие колебания. Если в начале мы видели колебания
около 16-ти градусов среднегодовой температуры при-
земного слоя атмосферы, то по мере развития собы-
тий получаются колебания уже от 14-ти до 17-ти гра-
дусов. Это очень сильные колебания. Здесь возникает
такой даже эффект. Мы хорошо знаем эффект десин-
хронизации генераторов. Например, Гюйгенс в пись-
мах к отцу писал, что наблюдал синхронизацию двух
часов, повешенных на стене, разделяющей две ком-
наты. То есть слабая связующая сила связывала эти
часы, и они шли в унисон. Таким образом, и здесь,
возможно, присутствуют эффекты синхронизации. Что
это значит? Что если все материки начнут работать на
увлажнение, планета начнёт разогреваться. То есть бу-
дет происходить потепление климата. Если они рабо-
тают на усушение, планета начинает охлаждаться. То
есть ледниковые эпохи возникают.
Причём у нас получилось, что экспериментальная
размерность этого аттрактора, вычисленная на осно-
ве эксперимента, поставленного климатологами Нико-
лисами, совпала с нашей размерностью, которую мы
вычислили теоретически. И что здесь важно? Что кли-
мат неразрывно связан с гидрологическими процес-
сами на суше. То есть воды суши – такой же полно-
правный участник климатического спектакля, как оке-
ан, атмосфера и криосфера. Это неразрывно связан-
ные между собой компоненты. И вот на рисунке пока-
зан «странный аттрактор». Есть такое стационарное
состояние этой системы, вернее, его проекция на плос-
кость в переменных температуры и зависимость про-
изводной температуры от времени. Мы видим, что не-
которое время температура находится где-то около 16-
ти градусов. Если продолжать дальнейшее развитие,
то температура может понизиться и до 14-ти градусов.
Она здесь показана, но время пребывания системы в
этом состоянии оказалось меньше, чем время пребы-
вания в другом состоянии системы.
И здесь хочу подчеркнуть следующее – поче-
му здесь эффект Харста справедлив? Академиком
В.В.Козловым показан такой эффект, что у уравне-
ния Дюффинга может быть бесконечное число длин-
нопериодических решений с любым периодом, то есть,
низкочастотных решений. Так вот там, где уравнение
Дюффинга имеет такое поведение, как раз возникают
эти долгие периодические решения, медленные про-
цессы. И вот спектр, построенный для такой реализа-
ции, как раз отражает этот эффект.
И ещё нужно сказать, что изменение климата в на-
шей модели является естественным, то есть без учёта
антропогенного эффекта. Потому что, на мой взгляд,
всякие модели должны объяснять прошлое и будущее,
а потом на основе их нужно принимать какие-то поли-
тические решения – типа Киотского протокола.
Александр Гордон. То есть вероятность потепления или похолода-
ния больше, чем вероятность стабильного развития
ситуации в любой…
Вячеслав Найдёнов. Да. Я хочу здесь добавить очень важный мо-
мент, который иногда опускается. Если бы у клима-
та не было никаких причин его изменения, всё было
бы случайно. И температура бы стояла около отмет-
ки плюс 15, тогда вероятность достижения потепления
без полярных шапок была бы ненулевая, такое состоя-
ние было в меловом периоде. Состояние мелового пе-
риода: тёплые океаны и влажное состояние климата.
Но вероятность возникновения тех ледниковых эпох на
Земле – тоже ненулевая, значит, причины изменения
климата есть. И они пока ещё, может, не познаны, но
эти все модели, о которых мы говорили, и в том числе
модели Харста, они допускают проверку. То есть мож-
но математически построить более сложные модели –
или подтвердить нашу теорию, или опровергнуть. Так,
собственно говоря, на наш взгляд и должна развивать-
ся наука.
Александр Гордон. Мне очень нравится, что у вас теория не антро-
поморфна. Потому что человек всё-таки слишком мно-
гое о себе возомнил…


Обзор темы


Вода стоит особняком в истории нашей планеты .
В.И.Вернадский

История открытия. В 1951 г. британский климатолог Г.Харст, проведший более 60 лет в Египте, где участвовал в гидротехнических проектах на Ниле опубликовал работу, в которой и описал неожиданный эффект в поведении колебаний стока Нила и ряда других рек. Чтобы понять его суть, давайте предположим, что расход воды в реке во все годы одинаков. Тогда суммарный расход за много лет был бы пропорционален полному времени: . Если же считать, что расходы воды в каждом году – последовательность случайных величин, не связанных друг с другом, то суммарный расход воды . Именно так и полагал Харст, приступая к статистической обработке временного ряда расходов (паводков) на Ниле с 622 по 1469 гг. (панически боясь засух, египтяне, должно быть, усердно вели свои записи на папирусе). Однако, подсчеты, выполненные ученым, опровергли эту гипотетическую зависимость. Оказалось, что сток Нила следует соотношению . Это соотношение получило название закона Харста, а показатель степени – показателя Харста.
Отличие показателя Харста от 0.5 является принципиальным фактом для гидрологии, так как это означает, что для описания различных гидрологических явлений (колебания уровня водоемов, речного стока, паводков и половодий) линейные модели не пригодны. На практике сплошь и рядом это явление подтверждается, так как и колебания уровня водоемов (например, Каспийского моря), и максимальных расходов воды в периоды дождевых и весенних паводков подвержены резким и большим изменениям, для описания которых надо отказаться от использования линейных (слишком упрощенных) моделей.
Для многих временных рядов стоков рек (Волги, Днепра, Немана, Дуная), уровней воды в водоемах (Каспийского моря, озер Балхаш, Большое Соленое, Чад, Чаны), для ширины колец деревьев сосны и дуба, глобальной температуры воздуха по Северному полушарию, среднегодовой температуры гг. Москвы и Петербурга эффект Харста справедлив. Общепринятой теории эффекта Харста пока не существует.
Не случайно в докладе одного из ведущих ученых в области геофизики В.Клемеша на Международном конгрессе по стохастической гидрологии (Москва, ноябрь 1998 г.) прозвучал настойчивый вопрос: “The Hurst Phenomenon: A Puzzle?” Попробуем разобраться в этом явлении, которое, судя по всему, имеет глобальный характер в геофизике.
Фрактальное броуновское движение. Взвешенные в воде мельчайшие частицы участвуют в беспорядочном и очень оживленном движении. Как физическое явление его открыл английский ботаник Р.Броун в 1827 году и в честь ученого оно получило название броуновского движения. Математическое описание этого явления было выведено из законов физики А.Эйнштейном в 1905 году. Физическая теория была далее усовершенствована А.Эйнштейном вместе с М.Смолуховским (1935), а также Фоккером, Планком, Орнштейном, Уленбеком и многими другими. Первое математически четкое построение теории броуновского движения как физического явления было дано Н.Винером в его диссертации в 1918 году. С этого момента у броуновского движения появился синоним: “винеровский процесс”.
С точки зрения математики броуновское движение – непрерывный гауссовский случайный процесс , , с нулевым средним и дисперсией . Автокорреляционная функция его приращений – -функция Дирака, что означает отсутствие корреляций в последовательных значениях приращений величины и постоянство спектра на всех частотах ( - частота). Дискретные процессы с таким спектром успешно применяются для моделирования многих климатических и гидрологических процессов. Однако, попытка его использования для объяснения эффекта Харста потерпела неудачу: суммарный расход воды в этом случае приводит к уже упомянутой зависимости . Не спасает положение и применение случайных процессов с конечным, не нулевым, как у приращений винеровского процесса, временем корреляции: доказано, что и в этом случае получается та же зависимость.
А.Н.Колмогоров в 1940 году впервые рассмотрел процессы, для которых и , и назвал их спиралями Винера. Так появилось обобщение винеровского процесса, которое впоследствии развивалось Б.Б.Мандельбротом, Дж.У.Ван Нессом и многими другими.
Автокорреляционная функция приращений фрактального броуновского движения затухает по степенному закону (характерное время корреляции этого процесса равно бесконечности), а его спектральная плотность при низких частотах расходится.
Случайные процессы с подобной спектральной плотностью также называют фликкер-шумом (от англ. flicker – мерцание, трепетание, дрожание, короткая вспышка). Такой шум характерен для транзисторов, речи, для потока автомобилей по шоссе, землетрясений и гроз; нормальный период сердцебиения человека имеет флуктуации, спектральная плотность которых при низких частотах расходится.
Как было сказано выше, Харст показал, что для стока Нила показатель Харста . Таким образом, эффект Харста получает математическую интерпретацию: колебания стока Нила – случайный процесс со степенным (медленным) затуханием корреляционной функции. Однако, эта аппроксимация формальна, так как нет ответа на главный вопрос: какие законы физики ответственны за эффект Харста.
Дождевые паводки. Чтобы объяснить эффект степенного затухания корреляции описываемых процессов, воспользуемся результатами исследования стохастического моделирования колебания речного стока в паводочный период, выполненных на кафедре гидрологии суши географического факультета МГУ. На основе материала многолетних наблюдений за стоком более 50 рек различных регионов мира получены статистические закономерности колебаний паводочного стока и разработана стохастическая модель этого процесса.
Она основана на следующей аппроксимации расхода воды во времени (гидрографа)
,

где – число паводочных пиков, – даты прохождения максимальных расходов воды, – значения этих максимальных расходов, самостоятельно формируемых каждым паводком и накладывающихся на спад предыдущих, а – функция формы паводка.
Модель - апробирована для р. Ченчон у г.Анджу (Северная Корея), Ломницы (Украинские Карпаты), Читы, для многих рек бассейна Амура и др.
Для нас очень важно, что результаты упомянутых исследований доказывают: распределение вероятностей паводочных пиков и дат их прохождения достаточно хорошо соответствуют распределению Пуассона, с одним и тем же параметром, который не зависит от времени. В последние годы этот подход широко используется для описания последовательностей прохождения различных синоптических ситуаций, определяющих условия формирования стока и выпадения осадков. Таким образом, правомерна постановка задачи об определении спектра случайного процесса, как сток .
Оказалось, что характер спектра существенно зависит от функции формы паводка, точнее от того, как он спадает. Так для горных рек это происходит очень быстро, поэтому уместна аппроксимация экспонентой . В этом случае спектр процесса при и эффект Харста у паводочного режима отсутствует. Напротив, при медленном спадании паводка, когда оправдана аппроксимация медленно меняющейся функцией, например, при , эффекта Харста характерно.
Механизм формирования паводочного шлейфа (чрезвычайной распластанности гидрографа стока) характерен для больших рек за счет продолжительного времени бассейнового добегания и за счет задержки воды в почвогрунтах. Продолжительный спад воды – фактор усиления корреляции между расходами воды в разные моменты времени.
Таким образом, возможной причиной эффекта Харста в паводках Нила – их медленный спад в период отсутствия дождей.
Анализ других важных составляющих элементов гидрологического цикла суши (осадки, динамика влажности почвы, инфильтрация), которые можно приблизить импульсными случайными процессами, показал, что спектр этих процессов расходится на низких частотах.
Таким образом, огромный (2.8 млн. км2) бассейн Нила представляет собой нелинейную, неравновесную и нестационарную природную систему. Потоки солнечного тепла и влаги с Индийского океана постоянно выводят ее из состояния равновесия. В соответствии со вторым законом термодинамики (законом возрастания энтропии) природная система за счет процессов диссипации (вязкого течения и теплопроводности) релаксирует к состоянию с более высокой энтропией, причем эта релаксация происходит довольно медленно. Вот эту интересную особенность функционирования бассейна Нила и подметил британский климатолог Г.Харст.
Бистабильный Каспий. Новая физическая концепция многолетних колебаний уровня моря. Уровенный режим Каспийского моря всегда отличался неустойчивостью и преподносил сюрпризы, в основном неприятные, не только прибрежным регионам, но и авторам многочисленных прогнозов, которые, как правило, не сбывались. Загадочное поведение этого уникального водоема привлекало многих выдающихся ученых своего времени: немецкого естествоиспытателя и путешественника А.Гумбольта, его соотечественников П.Палласа, К.Л.Габлица, академика Л.С.Берга, историка Л.Н.Гумилева. Тщательный анализ истории осадконакопления в заливах моря за исторический период времени (2000 лет н.э.) показал, что за этот период кривая колебаний уровня моря имеет квазициклический характер с периодом повторяемости 230-280 лет относительно низких отметок (-29 … -30 м абс) и высоких отметок (-25 … -26 м абс), Характерно, что такой же период повторяемости колебаний увлажненности характерен для толщ болот Дании и является, по-видимому, общим для Европейской части Северного полушария. Такое поведение уровня моря отмечается и историческими свидетельствами, например, в XII веке итальянский географ Марио Сануто писал: “Море поднимается каждый год на ладонь и многие хорошие города уничтожены”.
Изменение физико-географических условий вследствие подъема уровня Каспийского моря привели к гибели Хазарского каганата и исчезновению хазар, так как экономика страны рухнула из-за потери 2/3 своей территории. Так Л.Н.Гумилев драматически описывает гибель Хазарии: “Совместный удар на Хазарию русов, гузов и печенегов в 965 г. покончил с самостоятельностью полузатопленной страны”. Но Пойтенгеровской таблице - Римской дорожной карте населенного мира, оригинал которой датируется V веком н.э. уровень Каспия обозначен на 20 -30 м выше современного.
Гипотезы и модели. Возникает вопрос, как объяснить такие резкие изменения уровня моря. Мы разработали нелинейную стохастическую модель колебаний уровня Каспийского моря, которая объясняет парадоксальное поведение его уровня. Существенным отличием предложенной теории от линейной является предположение о возникновении неустойчивого, равновесного уровня Каспийского моря, расположенного в районе отметок -27.0 - -26.5 м абс. Наличие этого уровня радикально меняет общепринятый линейный механизм колебаний и приводит к возникновению двух слабо устойчивых уровней равновесия, в результате чего море под воздействием колебаний стока Волги и осадков в его бассейне эволюционирует от одного уровня к другому. Найдены вероятностные характеристики переходов.
Современная теория колебаний уровня Каспийского моря предполагает, что единственный механизм, управляющий эволюцией уровенного режима, - механизм отрицательной обратной связи: при подъеме уровня водоема выше равновесного увеличивается площадь зеркала испарения, что заставляет уровень вернуться к исходному состоянию. Это по существу известный физический принцип Ле Шателье-Брауна: возникающие в природной системе процессы стремятся ослабить результаты внешнего воздействия. При построении линейных моделей колебаний уровня Каспийского моря совершенно не учитывается важный теплофизический эффект: изменение теплоемкости Северного Каспия при снижении или подъеме его уровня. Например, на отметках -24 и –28 м абс объемы вод Северного Каспия составляют 856 и 397 км3 соответственно. Таким образом, теплоемкость Северного Каспия при переходе моря от низких отметок к высоким увеличивается в 2 раза; площадь моря при этом меняется гораздо меньше. При высоких значениях уровня моря существенно увеличатся затраты солнечного тепла на нагрев вод бассейна, что приводит к уменьшению среднемноголетнего значения слоя испарения. Стохастическая модель В.И. Найденова и И.А.Кожевниковой учитывает нелинейную теплофизику испарения и выглядит следующим образом:



,

где Z(t) - безразмерный уровень, - дискретный белый шум с нулевым средним и единичной дисперсией.
Расчеты колебаний уровня моря, выполненные на основе этой модели, показали, что для уровня моря характерны быстрые (30-40 лет) переходы от одного состояния к другому с последующей стабилизацией процесса вблизи равновесного состояния. Характерно, что эта нелинейная модель генерирует фликкер-шум и показатель Харста для нее оказывается большим, чем 0.5.
Например, вероятности переходов уровня Каспийского моря с отметки -26.62 м абс к верхнему и нижнему уровням соответственно равна 0,36 и - 0,64, соответственно времена переходов 20 и 25 лет. Сравнительно большая вероятность перехода к нижнему уровню объясняется наличием широкой области неустойчивости в окрестности нижнего уровня. При повышении уровня вероятность перехода к верхнему равновесному уровню экспоненциально увеличивается.
Таким образом, уровенный режим Каспийского моря характеризуется длительными периодами стояния вблизи устойчивых состояний равновесия и переходами от одного уровня к другому.
По нашему мнению, необходимо отказаться от дальнейшего анализа линейных уравнений водного баланса Каспийского моря и перейти к нелинейным уравнениям.
Почему так часто происходят катастрофические наводнения? О степенном законе катастрофических наводнений. Для эффекта Харста отсутствует характерное время в динамике гидрологического процесса (колебаний уровня водоемов или речного стока), т.е. имеет место степенное распределение временных характеристик процесса и расходимость спектра процесса на низких частотах.
Нами показано, что этот нелинейный эффект тесно связан с другим широко распространенным эффектом, характеризующим сложность физической системы – “степенным законом распределения вероятностей”, который хорошо описывает статистику катастрофических наводнений.
Для России характерен рост количества катастроф, особенно в последние годы. Катастрофические явления, обусловленные наводнениями, составляют 19% от общего числа. Наводнения занимают первое место в ряду стихийных бедствий по повторяемости, охвату территории и материальному ущербу. В среднем по стране ежегодно затопляются обширные территории (около 50 тыс. кв. км.), из которых 40% приходится на сельскохозяйственные угодья. На этих территориях размещаются больше 300 городов, десятки тысяч других населенных пунктов, множество хозяйственных объектов. Самое масштабное и разрушительное за 100 лет наводнение на Северном Кавказе потрясло Россию. Общая площадь затопления составила 346 кв.км., были эвакуированы более 100 тыс. человек, погибли 104 человека. Материальный ущерб от стихийного бедствия - почти 14 млрд. руб. Версий случившегося много…
Гидрологи предполагают, что эта катастрофа представляет собой “следствие необычного сочетания гидрометеорологических факторов и условий на водосборе”. Но если бы это было так и наводнения определялось как суммарное действие множества неподдающихся учету факторов (количество дождей, их интенсивность, тепло-и-влагообмена атмосферы с подстилающей поверхностью), то, согласно центральной предельной теореме теории вероятностей, плотность вероятностей уровня воды во время наводнения (расхода) воды в реках подчинялось бы гауссовскому распределению. Тогда, действительно, вероятность катастрофического наводнения на Северном Кавказе была бы ничтожно мала, и можно было бы считать, что нам сильно не повезло.
При внимательном анализе статистических данных по крупнейшим наводнениям выясняется, что они проявляют весьма необычные особенности, не укладывающиеся в привычные представления. Так при наводнении 1931 года на р. Янцзы в Китае погибло около 1.3 млн. человек, что в десятки тысяч раз превосходит число погибших при обычном, рядовом наводнении. Во временном ряду ущербов от катастроф изредка встречаются экстремальные значения, несоизмеримые по величине со значениями для подавляющей части событий. Не составляет исключение и наводнение на Северном Кавказе: приведенный выше материальный ущерб гораздо выше, чем общий ущерб за десятки предыдущих наводнений.
Доказано, что временной ряд, обладающий указанным свойством (сумма элементов ряда имеет тот же порядок, что и максимальный элемент ряда), должен подчиняться распределению Парето, которое характеризуется медленным уменьшением числа редких событий (степенному распределению с ”тяжелым хвостом”). С точки зрения степенного распределения вероятности катастрофических наводнений на порядок и больше превышают вероятности, вычисленные на основании экспоненциального семейства распределений.
Действительно, американская статистика торнадо, землетрясений, наводнений, ураганов за прошедший век показывает, что данные наблюдений с достаточно хорошей точностью ложатся на прямые, которые соответствуют степенной статистике. Разница между нормальным и степенным распределениями носит не формальный, а принципиальный характер. Если статистика системы описывается гауссовским законом, то свыше 99,7% событий отклоняется от среднего значения не более, чем на 3 ( - стандартное отклонение), а, скажем, за 5 выбивается и вовсе менее одного события на миллион. При этом появляется возможность пренебречь очень крупными событиями, считая их практически невероятными. Примерно такие соотношения имеют место для любого распределения из экспоненциального семейства. Статистика величин, описываемая степенными распределениями, отличается тем, что крупные события, приходящиеся на "хвост" распределения, происходят недостаточно редко, чтобы ими можно было пренебречь. Именно с этой ситуацией мы сталкиваемся при оценке вероятностей катастрофических наводнений. Если учесть, что для стандартной обработки временных гидрологических рядов рекомендуется использовать распределение из семейства экспоненциальных распределений (СНиП 2-01.14-83), то, очевидно, что катастрофические наводнения будут для нас всегда неожиданными. Наводнения исключительной силы последних лет убедительно показали, что рассчитывать защитные дамбы, плотины и другие гидротехнические сооружения необходимо на основании новых вероятностных закономерностей о природе этих событий.
Необходимость этого можно иллюстрировать следующим примером. Например, в Нидерландах к началу 20-х годов прошлого века правительственный комитет по защите от наводнений установил максимальный уровень защитных сооружений 390 см, который никогда не наблюдался. Гидротехники не стали ориентироваться на столь редкое событие и приняли величину 340 см с вероятностью достижения этого уровня 1 раз в 70 лет. Это значение было всего на 12 см выше абсолютного максимума, наблюдавшегося на побережье Нидерландов, примерно за 25 лет. Стремление удешевить строительство обернулось трагедией "голландского" урагана 1 февраля 1953 г., унесшего около 2000 жизней и вызвавшего огромные разрушения. Ныне в Нидерландах гидротехнические сооружения должны быть ориентированы на максимальный уровень 500 см, возможный 1 раз в 10000 лет.
Гидрология пока не способна объяснить физический механизм возникновения распределения Парето и тем самым ответить на фундаментальный вопрос: почему катастрофические наводнения происходят так часто.
С точки зрения случайных процессов это означает, что плотности распределений вероятностей случайных величин, характеризующих наводнения (уровни воды в реке, объемы стока за половодья, максимальные расходы воды и т.п.) являются “распределениями с тяжелыми хвостами”. В терминах оценки безопасности и риска “хвост” распределения соответствует так называемым гипотетическим наводнениям, возможность которых на практике не учитывается. Наличие степенного закона распределения вероятностей в корне изменяет наши представления о возможных масштабах наводнений. Таким образом, вероятность катастрофических наводнений гораздо выше, чем это следует из предположения о трехпараметрическом распределении Вейбулла (в гидрологии это распределение называется распределением Крицкого-Менкеля).
Степенное распределение вероятностей характерно и для многих других катастрофических событий. Пусть плотность вероятности имеет вид

где показатель обычно лежит в диапазоне от 0 до 1. При статистическом описании катастроф и стихийных бедствий это распределение является правилом, практически не знающим исключений. В качестве классического примера можно привести закон Рихтера-Гутенберга: зависимость количества землетрясений от их энергии определяется последней формулой с для землетрясений с магнитудой менее 7,5 и для более сильных. Точно также распределены: относительная смертность (количество погибших в результате стихийного бедствия, деленное на численность населения страны на его момент) в результате землетрясений , ураганов , а также наводнений и торнадо ; число заболевших при эпидемиях в изолированных популяциях; площадь лесных пожаров ; колебания биржевых индексов ; масса снежных лавин.
Вероятности катастроф. В.И. Найденовым и И.А. Кожевниковой выполнен статистический анализ большого количества временных рядов максимальных уровней воды в реках, объемов стока за половодье, максимальных расходов воды. Особое внимание было уделено анализу катастрофических наводнений в Санкт-Петербурге, так как для этого явления разработаны детальные физические модели и представилось хорошая возможность сравнить вероятностные и гидродинамические методы расчета.
Рассмотрим два распределения, одно из которых хорошо известное гамма-распределение, а другое, степенное, предложенное нами в гидрологии впервые

здесь - параметр распределений, - гамма-функция Эйлера.
Наводнения на Неве. Исследователи оценили параметр для десятков гидрологических рядов максимальных уровней (расходов воды). Например, для максимальных уровней воды в р. Неве (1878-1994) была получена следующая оценка . Для этого были построены функции распределения вероятностей максимальных уровней воды в реке Неве у Горного института.
Вероятности превышения уровня, вычисленные на основании этого распределения для максимальных уровней на реке Неве.
Например, знаменитое наводнение в Санкт-Петербурге, произошедшее 19 ноября 1824 года (уровень воды в р. Неве 421 см БС), должно происходить 1 раз в 667 лет с точки зрения степенного распределения. По гамма-распределению это событие практически невозможно (1 раз в 22222 лет).
Наводнение, случившееся 23 сентября 1924 года (уровень воды в Неве 380 см БС) имеет вероятность 0.0039 (1 раз в 256 лет) по степенному распределению и 0.00036 (1 раз в 2777 лет) по гамма-распределению, т.е. снова практически невозможно. Однако, эти события происходили.
В связи с гидрологическим обоснованием ряда проектов по защите Санкт-Петербурга и ближайших пригородов от наводнений были проведены обширные научные исследования по проблеме расчета максимальных уровней воды на р. Неве.
Оказалось, что статистика петербургских наводнений за период – 1703-1994 гг. хорошо описывается степенным законом, параметры которого вычислены по относительно короткому ряду наблюдений.
Нами проведено сравнение результатов этих исследований расчетами по статистическим моделям (табл.). Это сравнение показывает, что степенное распределение хорошо соответствует гидродинамическим моделям наводнений.

Таблица. Повторяемость уровней воды реки Невы у Горного института.
Повторяемость
Уровней воды Гидродинами-ческие модели Степенное распределение Гамма распределение
1 раз в 10000 лет 540 548 406
1 раз в 1000 лет 475 439 359
1 раз в 100 лет 345 341 307
1 раз в 20 лет 257 275 265
1 раз в 5 лет 215 219 220

Наводнения на других реках. Отмеченная закономерность характерна и для других рек. Наводнение 1954 г. на р. Янцзы в Китае имеет вероятность в 4 раза большую по степенному распределению (1 раз в 167 лет), чем по гамма-распределению (1 раз в 667 лет). Другой пример. Вероятность превышения катастрофического уровня половодья 1931 года на р. Западная Двина у г. Витебска по степенному распределению равна 0.0114 (1 раз в 88 лет) и превышает вероятность по гамма-распределению 0.0019 (1 раз в 526 лет) в 6 раз. Подчеркнем, что в 1951 году катастрофический подъем уровня воды на р. Западная Двина повторился.
Вероятность превышения максимального расхода воды на реке Миссури в 1951 году (12606 м3/сек) по степенному распределению равна 0.026 (1 раз в 38 лет), а по гамма-распределению 0.0055 (1 раз в 181 год), т.е. в 5 раз больше.
Летом 2002 г на реках Северного Кавказа (Кубани, Тереке, Куме, Подкумке и т.д.) наблюдался аномальный гидрологический режим. Расчеты, выполненные на основе степенного распределения максимальных расходов воды, показали следующее.
Например, максимальный расход воды на р. Кубань может превысить среднемноголетний в 2.5 раза один раз в 170 лет по степенному распределению (соответственно, один раз в 1000 лет по гамма-распределению). Река Терек может превысить свой обычный расход в два раза: один раз в 110 лет по степенному распределению (соответственно, один раз в 406 лет по гамма-распределению). Для р. Кумы расход воды, превышающий норму в пять раз, может произойти один раз в 85 лет по степенному распределению (соответственно, один раз в 28000 лет по гамма-распределению). Для р. Подкумок расход воды, превышающий норму в четыре раза, может произойти один раз в 102 года по степенному распределению (соответственно, один раз в 8800 лет по гамма-распределению).
Аналогичные оценки верны и для других больших и малых рек Северного Кавказа. Другими словами, произошедшее катастрофическое наводнение на Северном Кавказе не является почти невероятным событием, а имеет достаточно большую вероятность повториться даже при жизни нынешнего поколения.
Летом 2002 г большая часть Чехии и Германии были охвачены разрушительным наводнением. Мы проанализировали месячные стоки р. Эльбы в районе г. Дечина за июль-август (1888-1990 гг.) и получили следующие результаты. Августовский расход воды в р. Эльбе может превысить средний многолетний в 2.3 раза один раз в 35 лет по степенному законы и один раз в 100 лет по гамма-распределению. Подобная закономерность верна и для июльских расходов (вероятность превышения нормы в 3 раза один раз в 100 лет по степенному закону и один раз в 1000 лет по гамма-распределению).
Оценки величины , полученные нами для максимальных расходов воды и уровней, изменяются в широких пределах от 2.83 (р. Тура) до 27.56 (р. Янцзы), причем для больших рек эта величина значительно больше двух. Тогда возникает вопрос: почему в распределении величин ущербов (количество жертв, экономические потери), для которого справедлив степенной закон с параметром , значение этой величины так мало. Для этого распределения отсутствуют математическое ожидание и дисперсия (соответствующие интегралы расходятся) и характерен эффект нелинейного роста ожидаемого ущерба со временем и поэтому сила наводнения неограниченна. Вот, что считают по этому вопросу ученые: “Что касается физически или экономически обоснованных пределов возможной силы катастроф, то единственно несомненные из них связаны с ограниченностью размеров нашей планеты. Такие ограничения, однако, не конструктивны, так как соответствующие им события аналогичны по своим последствиям глобальной катастрофе – “концу света””.
Ученые предложили конструктивную гипотезу, ограничивающую физические масштабы наводнений, не предполагающую “конец времен”. Физически ясно, что в области больших увлажненностей речных бассейнов зависимость величины стока от влагозапасов значительно ослабевает (сколько осадков выпало, столько и стекает воды) и плотность вероятности очень больших величин стока в этом случае следует гауссовскому закону. Но так как в нашу климатическую эру увлажненность суши еще не велика, то степенной закон был справедлив для палеонаводнений и будет справедлив и для грядущих катастроф.
Влияют ли гидрологические процессы на суше на климат Земли? Хаотическая динамика гидросферы и климата. Nicolis C. и Nicolis G. исследовали временной ряд температуры более чем за 900000 лет на основании анализа данных по изотопному составу кислорода в осадочных породах из экваториальной зоны Тихого океана сделан вывод, что этот ряд порожден хаотическим аттрактором малой размерности. Подчеркнем, что хаотический аттрактор способен порождать множество стохастических процессов. По этой причине флуктуации климата можно рассматривать как проявление хаотического характера самого аттрактора.
С учетом эффекта Харста показано, как в принципе в глобальных гидросферных и климатических процессах могут возникать автохаотические колебания. Подчеркнем, что существует гипотеза о том, что эффект Харста может быть объяснен в рамках динамического хаоса.
В.И. Найденов и И.А. Кожевникова рассмотрели модель климата, состоящую из уравнений теплового и водного баланса, динамики речного стока и диоксида углерода. Оказалось, что эта система уравнений может быть сведена к системе нелинейных осцилляторов типа Дуффинга и Ван дер Поля, для которой характерно существование хаотических решений.
Предложенная простая нелинейная модель климата не только демонстрирует его неустойчивость, но и указывает на хаотические автоколебания с существенной амплитудой изменения глобальной температуры, влагозапаса суши, речного стока и концентрации диоксида углерода в атмосфере.
По существу это означает: наша планета либо постоянно переохлаждается (ледниковые эпохи, похолодание климата), либо перегревается (потепление и увлажнение, усиленное развитие растительного покрова – режим “влажный и зеленый” Земли). Причиной хаотических автоколебаний климата является нелинейная зависимость теплоемкости и альбедо суши от ее влагозапасов. Анализ теплового режима планеты показал, что синхронное и синфазное увеличение (уменьшение) влагозапасов всех континентов приводит к уменьшению (увеличению) планетарного альбедо и к резкому, внезапному увеличению (уменьшению) глобальной температуры приземного слоя атмосферы и изменению климата Земли. При изменении влагозапасов одного или двух континентов глобальная температура изменяется не столь резко.
Таким образом, глобальные потепление и похолодание, а также резкие изменения концентрации диоксида углерода в атмосфере объясняются естественными природными процессами.

Библиография


Кожевникова И.А. Вероятностные характеристики Мандельброта//Обозрение прикладной и промышленной математики. 1997. Т.4. Вып.3
Кожевникова И.А., Найденов В.И. Нелинейная стохастическая модель колебаний уровня Каспийского моря//Водные ресурсы. 1998. Т.26. № 6
Колмогоров А.Н. Спирали Винера и другие интересные кривые в гильбертовом пространстве//ДАН СССР. 1940. Т.26. № 2
Найденов В.И. Нелинейная модель колебаний уровня Каспийского моря//Математическое моделирование 1992. Т.4. № 6
Найденов В.И., Кожевникова И.А. Предсказуем ли уровень моря?//Природа. 1994. № 5
Найденов В.И., Кожевникова И.А. Гидрофизический механизм явления Харста//ДАН. 2000. Т. 373. № 1
Найденов В.И., Кожевникова И.А. Эффект Харста в геофизике//Природа 2000. № 1
Найденов В.И., Кожевникова И.А. Нелинейные колебания уровня Каспийского моря и глобального климата//ДАН. 2001. Т. 378. № 1
Найденов В.И. Гидрология суши: новый взгляд//Вестник РАН. 2001. Т.71. № 5
Найденов В.И., Кожевникова И.А. Хаотическая динамика гидросферы и климата//ДАН. 2002. Т. 384. № 3
Найденов В.И., Кожевникова И.А. О степенном законе катастрофических наводнений//ДАН. 2002. Т. 386. № 3
Найденов В.И., Кожевникова И.А. Математические модели эффекта Харста/Российская наука: дорога жизни. М., 2002
Klemes V. The Hurst Phenomenon: A Puzzle?//Water Resour. Res. 1974. V.10(4)
Mandelbrot B.B., van Ness J.W. Fractional Brownian Motion, Fractional Noise and Applications//SIAM Rewiew. 1968. V.10. № 4
Hurst H. Methods of using long-term storage in reservoirs//Transactions of American Society of Civil Engineers. 1951. V.116

  • ДРУГИЕ МАТЕРИАЛЫ РАЗДЕЛА:
  • РЕДАКЦИЯ РЕКОМЕНДУЕТ:
  • ОСТАВИТЬ КОММЕНТАРИЙ:
    Имя
    Сообщение
    Введите текст с картинки:

  • Все это полная чушь! 2011-12-20 17:37:41

    В том смысле, что для практического применения никуда не применимо! Ни для прогнозирования, ни для чего другого! Уж слишком много хаоса в нашей жизни. Корреляционные размерности, показатели “жизни”, то как они там убывают и возрастают ничего общего с реальной жизнью не имеют!

Интеллект-видео. 2010.
RSS
X