загрузка...

Математика нелинейного мира

  • 16.06.2010 / Просмотров: 6128
    //Тэги: Гордон   квантовая механика  

    Всякое точное объяснение того или иного явления - математично и, наоборот, все, что точно - математика. Любое же точное описание - это описание на соответствующем математическом языке. Дифференциальное исчисление - математический язык классической физики. О том, на каком языке говорит квантовая физика, - математик Александр Виноградов.

загрузка...







загрузка...

Для хранения и проигрывания видео используется сторонний видеохостинг, в основном rutube.ru. Поэтому администрация сайта не может контролировать скорость его работы и рекламу в видео. Если у вас тормозит онлайн-видео, нажмите паузу, дождитесь, пока серая полоска загрузки содержимого уедет на некоторое расстояние вправо, после чего нажмите "старт". У вас начнётся проигрывание уже скачанного куска видео. Подробнее

Если вам пишется, что видео заблокировано, кликните по ролику - вы попадёте на сайт видеохостинга, где сможете посмотреть этот же ролик. Если вам пишется что ролик удалён, напишите нам в комментариях об этом.


Расшифровка передачи


Александр Гордон. …вопрос о родном языке кван-
товой механики. То есть, на каком языке, собственно,
изъясняется сама физика, в которой проблем гораздо
меньше, чем в математике, старающейся ее описать
или, вернее, быть рядом с ней. Я правильно понял суть
или не очень?
Александр Виноградов. Частично да. То есть я бу-
ду говорить не только о квантовой механике, но, ско-
рее, о нелинейных дифференциальных уравнениях в
частных производных. Но вы, пожалуйста, не пугай-
тесь, это на самом деле очень просто.
Александр Гордон. Правильно, а то не только у меня сейчас екнуло
сердце, но думаю, у большинства аудитории, уж очень
математической кажется такая терминология, для ме-
ня, например.
Александр Виноградов. Вы знаете, когда я готовился к передаче, то про-
смотрел на вашем сайте, какие темы тут разбирались
– чтобы проникнуться духом вашей программы. И об-
наружил, что я здесь, по-моему, второй чистый мате-
матик. И еще мне показалось, что физики говорили о
математике. В чем дело? Вы боитесь математиков или
они вас?
Александр Гордон. Знаете, я думаю, это взаимный процесс недове-
рия к тому, что истина может родиться в столь короткой
программе, когда речь идет о такой высокой материи,
как математика.
Александр Виноградов. Она – действительно высокая материя. Спаси-
бо. Я думаю, что, может быть, поэтому некоторая яс-
ность возникнет в процессе нашей беседы.
Так вот, я хочу начать издалека, не говоря первое
время вообще ни слова о математике. Во-первых, вро-
де бы все знают, что такое математика, но я боюсь,
что это требует разъяснения: тут есть вещи, которые
ускользают от внимания даже тех, кто окончил высшие
учебные заведения с полным курсом высшей матема-
тики. На самом деле математика очень многообраз-
на, и там есть очень много областей: можно решать
дифференциальные уравнения или заниматься рас-
кодированием кодов (на этот счет есть своя теория).
Что, казалось бы, общего между такими разными ве-
щами? На самом деле, математика – это точный язык,
это единственный язык, или, лучше сказать, языки, ко-
торые изобрело человечество, которые дают уверен-
ность, что вы говорите правду, и проверить эту правду
путем точного рассуждения.
Когда я это говорю, нужно иметь в виду, что мате-
матика знает много точных языков. Точное логическое
рассуждение – это только самый примитивный язык,
который используют в математике. Знаете, как в ком-
пьютерах есть самый примитивный язык в двоичных
кодах.
Александр Гордон. Бинарный код, да.
Александр Виноградов. Это самый простой язык. Потом есть более
сложные языки, которые гораздо эффективнее ула-
вливают специфические проблемы и так далее. Так
вот, с этой точки зрения, я бы определил математику
как язык точного естествознания. В частности, сюда, в
естествознание, я включаю также природу, созданную
человеком, скажем, экономику или то, что называется
информатикой, и так далее. И вот это будет в каком-то
смысле лейтмотивом сегодняшнего разговора – язык.
Посмотрите, с чего начинается Евангелие от Иоан-
на. «Вначале было Слово», и дальше – «и Слово было
у Бога, и Слово было Бог». Это очень глубокая мысль,
независимо от религиозных воззрений того или иного
человека. Собственно, она, с другой стороны, триви-
альна. Если вы желаете объяснить что-то кому-то, вы
рассуждаете, и рассуждаете на каком-то языке. Если
Создатель замыслил какой-то мир, он должен был, по
крайней мере, внутри себя иметь план. Этот план дол-
жен был быть изложен на каком-то языке. Это, в об-
щем-то, простая суть, но когда она начинает конкре-
тизироваться, скажем, в математике, то приобретает
такие сложные формы, что ее, этой сути, и не видно.
Поэтому я хочу заострить внимание именно на этом
аспекте.
Кроме того что математика – это точный язык, это
еще и искусство рассуждать на этом языке. Если срав-
нивать с литературой, то сначала, когда создается но-
вый математический язык, создатели этого языка гово-
рят очень грубые фразы. Потом они начинают что-то
рифмовать, потом пишут поэмы и так далее. Все про-
исходит, как в литературе. И можно даже сопоставить
такое развитие с приходом в русскую литературу сна-
чала Тредиаковского, потом Ломоносова, потом Пуш-
кина и так далее. Этапы развития русского языка, как
любого натурального языка, и математики похожи.
Александр Гордон. Но это сомнительное сравнение, потому что по-
лучается, если следовать этой логике, что сегодня мы
должны писать лучше, чем писал Пушкин на том же са-
мом языке, чего мы не наблюдаем.
Александр Виноградов. Это точное замечание, но язык науки проще, и
он совершенствуется за счет создания новых языков
и за счет обогащения, если сравнивать с литературой,
лексического материала. На самом деле, я бы сказал,
в науке красота возрастает. Может быть, это ее отли-
чие от литературы.
Был такой замечательный современный философ
Людвиг Витгенштейн, один из последних крупных фи-
лософов, у него есть замечательная максима: «Преде-
лы моего мира суть пределы моего языка». То есть то,
что человек может понять в этом мире, формулируется
на его языке. Если вы хотите понять китайца и не гово-
рите по-китайски, вы не можете до конца понять, что
такое китайская душа – и так далее. Все это примени-
мо и к математике. Вот еще замечательное высказы-
вание: когда Бродского спрашивали, испытывает ли он
ностальгию, он говорил: «Родина – это язык».
Итак, математика – точный язык. Но научные язы-
ки – не обязательно математические. Скажем, язык хи-
мии не такой точный, он довольно приблизителен, по-
этому химик, когда рассуждает о своих соединениях,
он то рассуждает логически в пределах этого языка, то
обращается к каким-то внеязыковым вещам, для это-
го ему служит эксперимент. В физике это происходит в
меньшей степени, в биологии – в большей. Что такое
понимание, когда нарастает понимание? Когда данная
область математизируется. Полное понимание – это
когда область полностью математизирована, тогда мы
знаем всю правду.
Давайте начнем с попыток человечества понять
правду. Вспомним еще раз Библию. Помните, когда у
людей разум стал достаточно сильным, они стали смо-
треть, что вокруг, и решили построить Вавилонскую
башню, чтобы увидеть Бога, и проект составили на сво-
ем логическом языке. Увидев это, Бог решил, что нуж-
но остановить эти попытки, и что он сделал? Он раз-
делил языки. Но на этом игра не остановилась. Люди
сначала были в замешательстве, потом стали думать,
«а что же делать дальше?», потому что бес все время
точил: «а что такое? где Бог?» и многие другие вопро-
сы. И люди создали новый язык. Как вы думаете, как
этот язык называется?
Александр Гордон. Математика?
Александр Виноградов. Замечательно, я к этому и клонил. Но на этом
партия опять не закончилась. Люди достигли многого
в математике, например, в греческие времена. Это по-
разительно, но они вычислили радиус Земли, доволь-
но точно измерили расстояние до Солнца. Известны
и другие более-менее выдающиеся научные открытия,
которые были сделаны потом. И Бог время от време-
ни говорил: «хватит». И он разделял языки уже внутри
математики. В общем, вот такая партия.
Александр Гордон. Аналогия понятна.
Александр Виноградов. Сначала единый язык, потом, когда человек
становится слишком дерзким, происходит это распол-
зание языков, и потом непонятно, что делать. В общем,
это очень интересный процесс.
Что же происходит, когда языки расползаются, когда
точность теряется? Начинает рождаться метафизика.
Скажем, человек – еще достаточно первобытный че-
ловек – на языке обычной логики пытается понять мир.
Он что-то знает твердо о мире вокруг себя. Когда он хо-
чет понять, например, устройство окружающего мира,
то в терминах своего языка говорит: «это черепаха»,
поскольку мир ему кажется плоским. На чем же дер-
жится черепаха? Если человек живет на берегу океа-
на, он, оглядываясь вокруг, решает, что эта черепаха,
наверное, плавает в океане – это первая космогониче-
ская гипотеза. Это метафизика, потому что здесь те-
ория выходит за пределы языка, язык становится не-
точным. И то же самое происходит в науке. Но там ме-
тафизика, уже не так заметна невооруженному глазу,
глазу неспециалиста, она как бы скрыта специальной
терминологией, она уже формулируется, если угодно,
в терминах дифференциального исчисления, если го-
ворить о таком высоком языке…
Александр Гордон. Появляется уже жреческий язык.
Александр Виноградов. Да, да. Это всегда тормозит некое идеаль-
но мыслимое развитие науки. Поэтому всегда нужно
иметь это в виду. Например, известна крылатая фра-
за Ньютона: «Гипотез не измышляю». По-видимому, он
обращался к Гуку, который на самом деле открыл фор-
мулу закона всемирного тяготения. Многие думают, что
это открыл Ньютон, это Гук сделал, физик. Он серд-
цем, по-видимому, почувствовал, а Ньютон это дока-
зал, объяснив на этой основе, почему планеты именно
так, а не иначе вокруг Солнца вращаются. Он соста-
вил первое дифференциальное уравнение, решил его
и этим доказал, то есть, он точно это установил. У Гука
это была интуиция или наитие, неизвестно что. Нью-
тон же это доказал. И он говорил: «гипотез я не выду-
мываю», то есть, не иду за пределы моего языка.
Я бы хотел здесь остановиться и просто сказать, ка-
ковы два источника, из которых вылезает разная мета-
физика. В сфере точного естествознания, грубо гово-
ря, есть два таких мощных источника – это теория не-
линейных процессов, которые в принципе можно опи-
сать в терминах классического дифференциального
исчисления, и квантовая физика. На самом деле эти
две вещи связаны, и я попытаюсь это объяснить.
Прежде чем этим заняться, посмотрим на историю
математики. Там были две великих революции – если
рассматривать математику как язык. Ведь на самом
деле математики были долгое время неграмотными,
то есть они не имели своей собственной письменно-
сти, их языком (я, конечно, очень огрубляю) была гре-
ческая геометрия. Чертежи там были чем-то вроде ие-
роглифов, математик, Геометр смотрел на них и учил-
ся понимать. В греческих книгах содержалось не до-
казательство в современном смысле, а было написа-
но «смотри». Человек должен был смотреть и уловить,
скажем, теорему Пифагора.
Письменность математики, как это было и в обыч-
ной человеческой истории, была изобретена гораздо
позже, это изобретение было связано с многими име-
нами, но выделяется здесь Франсуа Виет. Это была
письменность вроде той, которой мы в школе учимся,
когда пишем алгебраические уравнения «икс квадрат
плюс игрек» и тому подобное – это простейшая пись-
менность в математике. Потом она, конечно, была раз-
вита.
Эта математическая письменность, в общем-то,
адаптирована к четырем арифметическим операциям.
Данная цивилизация в этом смысле – арифметиче-
ская, или лучше сказать алгебраическая, эта ветвь ма-
тематической цивилизации сейчас называется комму-
тативной алгеброй. Но в этих терминах вы не може-
те, скажем, математически выразить, что такое ско-
рость, например, или что такое касательная к кривой
– и много других вещей. Написать тогда алгебраиче-
скими методами уравнение касательной было крупной
математической работой. Сейчас это, конечно, вызы-
вает улыбку.
Под давлением таких обстоятельств был изобретен
новый язык – язык дифференциального исчисления.
Это связано с именами Ньютона и Лейбница, хотя на
самом деле это длинный период в истории математи-
ки. Они как альпинисты, которые достигли пика благо-
даря усилиям целой команды. Так вот, это была дру-
гая революция. То есть на основе дифференциально-
го исчисления произошла глобальная, снизу доверху,
перестройка математики.
Вы знаете, что я обнаружил у Толстого в одном из его
ранних изданий «Войны и мира»? Я обожаю читать его
философские рассуждения. И я нашел более-менее
следующее. Там обсуждается, что Милорадович сде-
лал такое передвижение, Мюрат опоздал, что-то в та-
ком духе, и поэтому русские, дескать, выиграли кампа-
нию. И Толстой рассуждает и показывает, что обычной
повседневной логикой этот процесс нельзя описать, и
пишет дальше, что «тут нужно знать законы, математи-
ки для описания этих законов и создали специальный
язык исчисления бесконечно малых, инфинитезималь-
ных величин». К сожалению, эта фраза была только в
одном из первых изданий, в нынешних ее нет.
Александр Гордон. Софья Андреевна не поняла и заставила выки-
нуть, как это бывало у них в семье…
Александр Виноградов. Может быть, эта гипотеза мне не приходила
в голову. Это удивительно, какие бывают гениальные
люди, которые, наверное, хорошо учили математику.
Итак, последний язык – это язык дифференциаль-
ного исчисления. Этот язык – родной язык классиче-
ской физики. Все, что написано в классической физи-
ке, это дифференциальные уравнения. Дифференци-
альные уравнения бывают линейные и нелинейные, я
сейчас постараюсь это пояснить. Например, свет опи-
сывается уравнениями Максвелла, они линейные, это
соответствует тому, что световые волны могут накла-
дываться друг на друга – есть принцип суперпозиции.
А если вы будете пускать свет в какой-нибудь сложной
среде, например, как говорят, «с памятью», там такого
эффекта не будет, там будут аномальные с точки зре-
ния поведения света в вакууме, эффекты. Это означа-
ет, что уравнения, которые описывает свет в такой сре-
де – нелинейные.
Я хочу объяснить, что такое нелинейные диффе-
ренциальные уравнения в частных производных. Дай-
те, пожалуйста, четвертую картинку. Вы видите, там
три кривых, я пока напоминаю, что такое обыкновен-
ная производная. Синяя кривая – это график некото-
рой функции. Производная – это очень просто, это кру-
тизна графика. Крутизна – переменна, и поэтому это
другая функция. Скорость синего графика – это крас-
ный график. Этот процесс можно продолжить. Возь-
мем скорость и посмотрим скорость скорости. Ско-
рость красного графика – это зеленый график. Это –
просто напоминание, что такое производная.
Теперь давайте к следующей картинке перейдем.
Это график функции двух переменных. Вы видите там
линии, которые идут справа налево, и линии, которые
им перпендикулярны. И еще вы видите оси икс и игрек.
Линии, которые идут слева направо, идут в направле-
нии оси икс, линии другого семейства – в направлении
оси игрек.
Что такое частная производная по икс? Это крутиз-
на линий, которые идут справа налево. Частная про-
изводная по игрек – это крутизна линий, которые идут
в перпендикулярном направлении. На рисунке показа-
но, как эти производные обозначаются. Если функция
Y, то производная по икс – это Y с индексом икс. По
игрек – с индексом игрек. Если мы снова будем счи-
тать производные у этих функций, то будет Yх, и так да-
лее. Простое понятие, согласитесь, если неформаль-
но его объяснить. И классическая природа описывает-
ся в терминах уравнений, которые связывают между
собой частные производные.
Пожалуйста, следующий слайд. Сверху написано
линейное уравнение. Почему оно линейное, как это из
записи увидеть? Видите, там только суммы. Следую-
щее уравнение – очень знаменито, оно наделало мно-
го шума за последние 25–30 лет. Это уравнение Корте-
вега – де Фриза. О чем оно говорит? Вот то, что напи-
сано Y по t, это то, как изменяется со временем функ-
ция Y. А закон этого изменения функции стоит в левой
части. Видите, там комбинация производных. И в од-
ном месте вы видите умножение: Y умножается на Y
по икс. Это нелинейный член, то, что разрушает прин-
цип суперпозиции, который есть в первом уравнении.
Так это можно увидеть по математической записи. Вы
верите в чудеса?
Александр Гордон. Нет.
Александр Виноградов. Я тоже нет, но тут есть чему удивиться. Первый
повод, для того чтобы удивиться. Это уравнение опи-
сывает, с одной стороны, поведение воды в узком ка-
нале, а с другой стороны, реактивной струи, вылета-
ющей из самолетов Аэрофлота. И с третьей стороны,
как бегут электрические сигналы по нашим нервам. По-
думайте, с помощью обычного языка мы могли бы это
«увидеть»? Оказывается, мы можем это увидеть с по-
мощью математики. Мы начнем ковыряться в явлении
с помощью физиологов или физиков, напишем уравне-
ние и увидим, что… Так что мы можем моделировать
«нервы» водой в канале или рассчитывать самолеты с
помощью «нервов». В общем, это – чудо в некотором
смысле. Мы потеряли способность удивляться, но та-
ким вещам нужно удивляться.
Уравнение, которое написано посредине, это первое
нелинейное уравнение, которое было до конца про-
интегрировано. Я здесь немножко огрубляю, но будем
считать, что это – первое нелинейное дифференци-
альное уравнение, которое полностью проинтегриро-
вано. Такие уравнения называются вполне интегриру-
емыми. Это был очень большой прорыв в математи-
ке, люди обрадовались, что они наконец могут осилить
кое-какие нелинейные уравнения. Но если вы это урав-
нение чуть-чуть измените… Внизу показан пример, как
можно изменить это уравнение. Оно тоже нелинейное,
тоже на вид очень простенькое, почти не отличается
от первого на вид, но оно уже не интегрируемое. И,
в общем-то, мы по-настоящему не знаем, как изучать
его решения. Кое-что мы можем сказать, но, в общем,
здесь больше мрака, чем света.
Теперь давайте посмотрим на следующее уравне-
ние. Видите, там сверху написано уравнение плазмы
внутри установки «ТОКАМАК», где пытались и пыта-
ются осуществить термоядерный синтез. Видите, на-
сколько оно сложнее, чем те, которые были написаны
раньше. Тем не менее, кое-что мы, используя некото-
рые новые методы, можем о нем узнать. На картинке
вы видите плазменный жгут внутри «ТОКАМАКа». Его
нельзя увидеть ни глазами, ни с помощью самых точ-
ных физических приборов, но математически его мож-
но увидеть.
Покажите, пожалуйста, следующие слайды. Это
срезы плазменных жгутов. Посмотрите, какие они кра-
сивые и разнообразные по форме. Они показывают,
что плазма неустойчива. Вот решение с двумя лепест-
ками, а вот с тремя. Если вы чуть-чуть измените не-
кие параметры, например, как ток бежит по катушке,
вы получите картинку с тремя лепестками. Это, как го-
ворится, легким мановением пальца можно сделать,
поскольку здесь присутствует нестабильность. В этом
трудность получения термоядерного синтеза. Плазма
страшно нестабильна, плазменный шнур должен на-
ходиться точно в центре и не касаться стенок. Так
вот, эти нелинейные вещи в принципе можно увидеть
глазами математики. Если бы мы научились это де-
лать, мы бы сделали потрясающий шаг вперед, пото-
му что математика стоит очень мало. Мой добрый друг
Анатолий Моисеевич Вершик из Петербурга подсчи-
тал, что стоимость одного танка выше, чем содержа-
ние всей российской математики в течение года. Те-
перь представляете, вложить в математику 10 танков,
и мы бы научились решать нелинейные дифференци-
альные уравнения.
Александр Гордон. Но есть прямо пропорциональная зависимость
между количеством денег, которые в математику идут,
и качеством.
Александр Виноградов. Нет, нужно еще людей подбирать. Но у нас лю-
ди пока есть, а денег пока нет.
Вот как обстоят дела с нелинейными уравнениями.
Здесь я выйду за пределы математики и займусь соци-
альными вопросами, касающимися математики. Про-
стейшие соображения показывают, что будь все так,
как хотелось бы, мы бы сейчас, скажем, не имели
бы энергетических проблем. Так вот, несмотря на это,
и другие суперважные вещи математики ХХ века по-
чти не занимались нелинейными дифференциальны-
ми уравнениями. Причина в том, что мода такова была.
В математике были предложены простые методы, я
их только назову за недостатком времени – это методы
функционального анализа, с помощью которых реша-
ют линейные уравнения. И там был достигнут большой
прогресс. Но эти методы просто ни в какую дверь не
влезают, когда нужно заниматься нелинейными урав-
нениями. Поэтому этими методами ничего нелинейно-
го не было решено. Но под влиянием моды и авто-
ритета таких людей, как Гильберт, Джон фон Нойм-
ан, эти методы были объявлены математической осно-
вой квантовой механики. Это примерно то же самое,
что влияние Аристотеля на развитие физики – прошла
тысяча лет, и только потом кое-как Галилею удалось
сдвинуть дело с мертвой точки. Ситуация в квантовой
физике просто точно такая же. Эти линейные мето-
ды являются сегодня тормозом развития как нелиней-
ных дифференциальных уравнений в частных произ-
водных, так и квантовой физики. И настоящие физики
это чувствуют. Дирак, который был физиком и видел
физику вне тех или иных математических формализа-
ций, однажды произнес замечательные слова: «Взаи-
модействия в квантовой теории поля настолько силь-
ны, что они вышибают вектор состояния из гильберто-
ва пространства в минимально короткое время». Хо-
тя, может быть, только специалисты могут понять силу
иронии, заключенной в этих словах. Гильбертово про-
странство – это база всех методов, которые основаны
на авторитете Гильберта, Джон фон Ноймана и многих
других великих математиков. Но тут всегда есть обрат-
ная сторона.
Это – коротко про нелинейные дифференциальные
уравнения. Суть проблем, которые возникают в нели-
нейных дифференциальных уравнениях и в кванто-
вой физике, с точки зрения такой языковой филосо-
фии различна. Мы твердо знаем, что нелинейные диф-
ференциальные уравнения мы можем изучить, развив
язык классического дифференциального уравнения. А
вот с квантовой физикой дело обстоит, по-видимому,
гораздо более серьезно.
Но и на общем уровне, если вы прониклись та-
кой философией языка, это понять легко. Механика,
то есть физика ХVII века, родилась вместе со своим
языком, дифференциальным исчислением. Тут трудно
сказать, где курица, где яйцо, они тащили друг друга
– язык, математика и физика (в те годы механика). А
потом случилась такая вещь: физиками были откры-
ты квантовые явления. И физики, а потом математики
пытались их понять. Когда человек пытается что-то по-
нять, он использует свой язык. Математики и физики
стали глядеть по сторонам: какую математику тут мож-
но использовать?
И, в частности, сам Джон фон Нойман поглядел-по-
глядел по сторонам и обратил внимание, что модно и,
в общем, довольно элегантно математически исполь-
зовать язык гильбертовых пространств (это такая «ли-
неаризация»). Я могу на простом языке объяснить, что
значит гильбертово пространство для решений линей-
ных дифференциальных уравнений. Это точный ана-
лог большевистского или нацистского лагеря. В прин-
ципе, всякое решение нелинейного дифференциаль-
ного уравнения – сугубо индивидуально. Разные те-
чения воды, например, имеют невидимую математи-
ческую структуру, скажем, они обладают конформной
метрикой. Может быть, вы слышали этот термин в пе-
редачах, связанных с общей теорией относительно-
сти. Но это очень трудно заметить и не все это ви-
дят. А решения линейных уравнений в этом смысле
все одинаковы. Там нет индивидуальности. Поэтому
им можно дать «лагерный номер» – это называется
«нормой» в математике. И все. В этом ужас ситуации:
как все концлагеря одинаковы, так и, как математики
говорят, все гильбертовы пространства изоморфны. И
поэтому если пытаться «по Гильберту» описывать во-
ду или плазму, такие разные вещи, то получится один
и тот же концлагерь. Это простое обращение к повсе-
дневной жизни показывает, почему язык гильбертовых
пространств, линейных топологических пространств,
здесь никак не годится. Нужен новый язык.
Спрашивается, как и где этот язык искать. Я сей-
час сделаю шокирующее заявление, но потом попя-
чусь назад. Я вам должен сказать, что сейчас социаль-
ная ситуация в мире математики такова, что профессо-
ра математики и, прежде всего, те, которые занимают-
ся дифференциальными уравнениями, на самом деле
не знают, что это такое. И не потому что они глупые –
я хочу сказать другое, я хочу подчеркнуть социо-куль-
турный аспект ситуации. Доказать же это очень просто.
Если есть студенты, которые смотрят эту передачу, то
любой из них может подойти к своему профессору и
спросить: а что такое симметрии дифференциально-
го уравнения? Некоторые профессора вообще не от-
ветят, некоторые скажут: это, как в алгебре, замена пе-
ременных, которые не меняют форму уравнения. Этот
ответ неправильный. И тогда студент может позвонить
в вашу редакцию, и таким образом можно провести не-
кий социальный опрос.
Почему это доказывает, что математики не знают,
что такое дифференциальное уравнение? Когда вы
имеете четкое представление о каком-то объекте, то…
Например, вот круг, он симметричен относительно это-
го диаметра или этого другого диаметра. А кроме того,
его можно вращать, это тоже симметрия. Значит, если
вы ясно видите объект, то ясно представляете, каковы
его симметрии, то есть такие преобразования, которые
его как бы накладывают на себя. Если вы повернете
круг, вы не заметите, что что-то изменилось. Вот вы по-
смотрите на круг, потом отойдете, а я его поверну. Ко-
гда вы вернетесь, вы не заметите, что что-то произо-
шло. Это идея симметрии, которая сейчас очень широ-
ко используется в физике. В частности, если рассма-
тривать две элементарные частицы, нельзя сказать –
где Маша, а где Таня, они близнецы, которых нельзя
различить.
Такова ситуация в математике, таково влияние мо-
ды, которое нужно преодолевать.
Я хочу сейчас перескочить к квантовой физике, раз
уж мы стали об этом говорить. Итак, мы подозрева-
ем, что нужен новый язык. Но как его отыскать? При-
рода нам тихим голосом дает наводящие указания –
и математика тоже. Если мы себе признаемся честно:
«я не знаю, что такое дифференциальное уравнение»,
значит, нужно КОНЦЕПТУАЛЬНО определить, что это
такое, и нужны какие-то критерии того, что я действи-
тельно это знаю. Например, если я точно знаю что та-
кое дифференциальное уравнение, то я могу точно
сказать, что такое его симметрии.
Я раньше вам показал не дифференциальные урав-
нения, а их запись, как бы их паспорта. Паспорт расс-
кажет бюрократу много полезных вещей, но сути вла-
дельца он не раскроет. И точно так же, по этой записи
вы мало что узнаете о дифференциальных уравнени-
ях. Но вернемся к языку. Если вы спросите обычного
математика, я имею в виду не специалиста по диффе-
ренциальным уравнениям, какие он знает дифферен-
циальные уравнения, то нормальный математик вам
скажет, что уравнения бывают (я немножко огрубляю)
эллиптические, гиперболические и параболические. И
больше ничего. Это тоже показывает, что на самом де-
ле мы не знаем, что такое дифференциальное урав-
нение. И понять это можно, попытавшись нарисовать
его портрет.
Когда мы изучаем алгебру, мы рисуем графики функ-
ций. Скажем, геометрический образ уравнения «икс
квадрат плюс игрек квадрат равняется единице» есть
окружность. Это то, чему учат в старших классах шко-
лы. Это соответствие между алгеброй и геометрией
можно использовать в двух направлениях – можно с
помощью алгебры выводить свойства геометрических
фигур и, наоборот, глядя на геометрический образ, по-
нять, как решить алгебраическую проблему. Напри-
мер, великую теорему Ферма, которая столько шума
наделала, именно так и решили – создали, это был
длительный процесс, геометрию, которая позволяла
придти к решению.
Так вот, сейчас мы знаем, как найти геометрический
портрет (аналогичный портрету алгебраического урав-
нения) уравнения в частных производных. Это вещь,
которую я не могу попробовать здесь описать. Это не-
что нестандартно бесконечномерное, и даже некото-
рые математики перед этим образом теряют психоло-
гическое равновесие. Сейчас даже идет полемика. Не-
которые считают, что все это нужно рассматривать на
конечном уровне, не на бесконечном. Но это пройдет,
потому что это уже позволило решить ряд очень важ-
ных задач.
И вот когда мы увидели этот бесконечномерный объ-
ект, мы увидели там особое дифференциальное ис-
числение. Этот объект, если воспользоваться совре-
менным языком, – со многими «прибабахами», и эти
«прибабахи» называются геометрическими структура-
ми. Стандартное дифференциальное исчисление, ко-
торое уважает эти структуры, это – ВТОРИЧНОЕ ДИФ-
ФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. И что меня радует
– это то, что новый язык для квантовой теории поля ро-
дился сам собой, естественно. Это вторичное диффе-
ренциальное исчисление очень хорошо вписывается в
проблематику квантовой теории поля.
Например, траектория вторичного векторного поля,
это не обычная кривая, а такая, которая удовлетворя-
ет «принципу неопределенности». Она, вообще гово-
ря, не существует, существует виртуально. Но когда мы
ее загоним в ящик, как говорят физики, тогда она ста-
нет вполне определенной.
Кроме того, в последние годы были наблюдены
поразительные совпадения. Физики пытались своими
методами прояснить некоторые темные места кван-
товой теории поля. Мы же размышляли над «дурац-
кой проблемой» о том, что такое дифференциальные
уравнения. Потом совершенно независимо обнаружи-
ли, что результаты физиков – это элементы уже «на-
шей» готовой теории. Мы даже и не думали, что это
как-то связано с квантовой физикой. Речь идет, я скажу
специалистам, об «антиполях», о «духах» и т.п. Кстати,
это научный термин – «дух», ghost. Этот термин сами
физики выдумали, в физике есть другие мистические
слова – аномалия, перенормировка и так далее. Они
указывают на то, что сам этот язык ненормален. Это на
самом деле, я бы сказал так, полублатной язык. Физи-
кам просто уже не хватает слов, чтобы объяснить про-
исходящее.
Я сейчас абсолютно уверен, что ВТОРИЧНОЕ диф-
ференциальное уравнение превратит квантовую фи-
зику в точную науку в том же смысле, каковой явля-
ется классическая физика, благодаря языку «первич-
ных» дифференциальных уравнений.
Вот, пожалуй, главное, что я хотел сказать. И еще хо-
чу отметить, что вторичное дифференциальное урав-
нение – это язык очень интересный. Покажите мне, по-
жалуйста, картинку 12. Что общего у квантовой теории
поля с этой картинкой? Сейчас я вам расскажу, что та-
кое алгебраическая топология. Алгебраическая топо-
логия, если сказать попросту, это «исчисление дыр».
На этом рисунке между точками А и B есть нульмерная
дыра. Чтобы соединить точки А и B вы должны постро-
ить одномерный мост. При этом можно исчислять дыр-
ки. Вы мост переходите в одном направлении, поэто-
му дыра, как говорят математики, ориентирована. На
этом чертеже показано, как можно складывать дырки.
Если вы дырку А–B сложите с дыркой B–С – получите
дырку С–А. Это теория нульмерных дырок.
Пожалуйста, следующий слайд. На этом торе я по-
ясню вам теорию одномерных дырок. На верхнем то-
ре вы видите две одномерных дырки. У одной край –
красная линия, у другой – зеленая линия. Почему это
дырка? Потому что, скажем, красный контур вы не мо-
жете стянуть в точку, двигаясь только по поверхности
тора. Дырки можно складывать. Что значит, прибавить
красную дырку саму к себе? Это значит два раза обой-
ти ее в нужном направлении. А если вы возьмете трех-
кратную красную дырку и двукратную зеленую и сло-
жите их, получится красивый трилистник на поверхно-
сти тора.
Так вот, бывают дырки двумерные, n-мерные, любой
размерности. Это называется гомологиями. А функции
на дырках являются когомологиями. Топологическую
форму тела, если не принимать во внимание ее метри-
ческие размеры, можно довольно точно описать, ска-
зав, какие дырки имеются и какой размерности. Этими
данными можно описать топологию многомерной по-
верхности или, как мы говорим, многообразия.
А теперь давайте перейдем к нелинейным диффе-
ренциальным уравнениям и квантовой физике. Так вот,
функции на дырках называются когомологиями. И если
вы возьмете пластинку из какого-то металла и начнете
ее сгибать, вы можете себе представить, что там обра-
зуются инфинитезимальные дырки. В зависимости от
материала эти инфинитезимальные дырки будут раз-
ной формы, и они, эти дырки, описываются когомоло-
гиями типа Спенсера. Язык вторичного дифференци-
ального исчисления когомологичен: он исчисляет эти
инфинитезимальные дырки. Тут есть чему удивиться:
элементарные частицы и исчисление бесконечно ма-
лых дыр!?
Теперь представьте себе, что я вам это рассказал,
и вы что-то почувствовали. И теперь на этой базе мы
начнем развивать точную науку? Не получится. Нужна
все-таки очень аккуратная формализация. Нужно со-
здать язык, сделать из него исчисление. Замечатель-
но, что если мы будем рассматривать один аспект про-
блемы, получится язык для нелинейных уравнений. А
если другой, так сказать, «социальный» аспект – это
будет квантовая физика.
Александр Гордон. У этого нового языка есть название?
Александр Виноградов. Вторичное дифференциальное исчисление. А
та небольшая часть физики, где он только-только на-
чал использоваться, сейчас называется когомологиче-
ской физикой. Но пока еще только очень ограниченное
число людей это знает и над этим работает.
В оставшееся время я хотел бы попросить показать
14-й слайд. Я вам хочу задать вопрос: вы хорошо ви-
дите эти два текста?
Александр Гордон. Вижу.
Александр Виноградов. Представьте, что вы археолог, и раскапываете
какую-то цивилизацию. Раскопали две плиты и видите
письмена. Эти письмена принадлежат одной и той же
цивилизации, но одна из них более архаична, другая
– менее. По-вашему, какой из этих двух текстов более
архаичен? Правый или левый?
Александр Гордон. Правый.
Александр Виноградов. Вы мне доставили большое удовольствие. По-
тому что правый текст написан на языке гильбертовых
пространств, а левый – это язык вторичного диффе-
ренциального исчисления. Интересно, какое мнение
будет у зрителей? Правда, я немножко поспешил, объ-
явив ответ.
Александр Гордон. Ну, у них было время, пока я решал, какая из
этих частей мне кажется более архаичной. А вот наше
время уже закончилось, к сожалению. Спасибо. Если
я и не понял до конца, что вы хотели сказать, то, по
крайней мере, почувствовал.
Александр Виноградов. Это была моя цель. Спасибо.


Обзор темы


Из статьи А. М. Виноградова «Математические основания натуральной философии — нелинейный и квантовый аспекты»:
Пределы моего языка
суть пределы моего мира.
Людвиг Витгенштейн
Я считаю, что в настоящее время самым
важным из методов, при помощи которых
математик приносит своими работами
наибольшую пользу исследователю природы,
является систематическая классификация
величин.
Джеймс Клерк Максвелл

Окружающий нас мир существенно нелинеен в обоих известных на сегодняшний день своих проявлениях, классическом и квантовом. Всякое исчерпывающее и точное объяснение того или иного явления математично и, наоборот, все, что точно — это математика. Любое же точное математическое описание — это описание на соответствующем математическом языке. Лишь в редких случаях такой язык оказывается языком обычной логики. Например, математическим языком классической физики является дифференциальное исчисление. Аналогичный естественный математический язык для квантовой физики в полном объеме еще не построен, но ему уже можно дать имя, — Вторичное Дифференциальное Исчисление.
Классический трактат Ньютона «Математические начала натуральной философии», произведший переворот во всей математике, по существу является учебником грамматики разгаданного им «языка Природы», дифференциального исчисления, вместе с рассказом о том, что ему удалось у нее в результате услышать. Естественно, что он смог разобрать только смысл ее самых простых фраз. Последующие поколения математиков и физиков, постоянно совершенствуясь в этом языке, постигали все более и более сложные выражения, потом несложные четверостишия, поэмы… Соответственно, печатались расширенные и дополненные версии Ньютоновской грамматики. Но Природа очень и очень нелинейна по самой своей сути и, сверх того, квантова. Это привело сначала к весьма серьезным трудностям и недопониманию, а потом и к полному «дефолту». Так «куда ж нам плыть?»
История математики знает две великие революции, каждая из которых полностью меняла её облик и внутреннее содержание. Их движущей силой была «невозможность жить по старому», т. е. невозможность адекватно интерпретировать актуальные проблемы точного естествознания на языке существующей математики. Первая из них связана с именем Декарта, вторая с именами Ньютона и Лейбница, хотя, конечно же, они отнюдь не сводятся только к этим великим именам. По словам Гиббса, математика ? это язык, и сутью этих революций была глобальная перестройка всей математики на новой языковой основе. В самом деле, греческая математика разговаривает на языке Аристотелевой логики, которая должным образом формализует обычный, повседневный язык. В итоге первой революции, революции Декарта, языком всей математики стал язык коммутативной алгебры, вторая же заставила её говорить языком дифференциального исчисления.
Дифференциальное исчисление по самому своему происхождению является родным языком классической физики. Именно благодаря ему Максвелл смог открыть «на кончике пера» основу современной цивилизации — электромагнитные волны, а Эйнштейн — описать геометрию окружающей нас Вселенной. С другой стороны, столетний опыт убеждает нас, что средствами стандартного дифференциального исчисления невозможно описать явления, относящиеся к квантовой физике. Физики 20-го века искали необходимые им выразительные средства в современной им математике и, зачастую не находя того, что им нужно, пытались придумать свои. Дельта-функция и спиноры Дирака и континуальный интеграл Фейнмана являются замечательными образцами такого рода творчества.
Из того, что они нашли и придумали, образовался тот странный жаргон, в котором элементы дифференциального исчисления перемешиваются с гильбертовыми пространствами, теорией меры, операторно-значными обобщенными функциями и т.п. Более того, текущая мода требует, чтобы вся эта неоднородная смесь была бы ещё и надлежащим образом продеформирована. Хорошо понятное желание физика найти в реальном времени хоть какое-нибудь описание новых, необычных с классической точки зрения квантовых явлений толкает его использовать всю ту математику, которую он может найти под руками. Но принцип — «цель оправдывает средства» — так же неудовлетворителен с этической и эстетической точек зрения в рассматриваемом контексте, как и в обычной жизни. Всякий раз, когда существующие математические средства не в состоянии описать новые физические явления, они неизбежно ведут в метафизический тупик. Несостоятельность существующей математики перед лицом квантового вызова хорошо иллюстрируется тем, что до сих пор континуальный интеграл Фейнмана не нашел сколько-нибудь удовлетворительной математической формализации.
Математическое (не физическое!) уродство существующей квантовой теории недвусмысленно говорит о том, что её математические основания, т. е. математические основаниянатуральной философии в её квантовом аспекте, должны быть ещё установлены, а она сама сформулирована на новом, адекватном её сути языке. Таким образом:
1. необходимо отыскать родной математический язык квантовой теории, что является важнейшей задачей современной математики, абсолютно независимой от текущих проблем теоретической физики и господствующей в ней моде, и 2. научиться говорить, думать и писать на нём, то есть придти к истинному пониманию квантовых явлений.
Сказанное отнюдь не является отвлеченной философической игрой ума, поскольку проблемы 1) и 2) поддаются точному анализу. Весьма схематически это выглядит следующим образом.
Принцип соответствия Бора. Принцип соответствия Бора, согласно которому классическая физика является предельным случаем квантовой, оказался основным эвристическим приемом, приведшим к построению работающих математических моделей квантовых явлений. Точнее, в основе существующей квантовой теории лежат те или иные процедуры квантования, конкретизирующие принцип Бора. А поскольку языком классической физики является дифференциальное исчисление, то оно, это старое доброе дифференциальное исчисление есть предельный, вырожденный случай более общей математической теории, которую можно было бы назвать квантовым дифференциальным исчислением. Выделенное курсивом высказывание представляет собой математический парафраз принципа соответствия Бора, — математический принцип Бора. Из него, в частности, следует, что математический язык квантовой физики должен быть естественным расширением дифференциального исчисления, а отнюдь не системой надстроек в виде тех или конструкций функционального анализа, некоммутативной алгебры и т.п.
Из математического принципа Бора можно извлечь несколько больше, чем просто факт существования «квантового» дифференциального исчисления. Действительно, обыкновенные дифференциальные уравнения классической механики описывают поведение особенностей решений уравнений квантовой механики. В теории поля мы должны исходить из уравнений классических полей, которые, если думать по аналогии, описывают поведение особенностей (сингулярностей) квантовых полей, но с самого начала уже являются уравнениями в частных производных. Стало быть, допуская, что принцип соответствия Бора справедлив и в этом случае, мы с необходимостью приходим к выводу, что уравнения, описывающие квантовые поля, должны быть дифференциальными уравнениями нового, неизвестного ранее типа, который соотносится с уравнениями в частных производных так же, как уравнения в частных производных соотносятся с обыкновенными дифференциальными уравнениями. В более широком контексте это указывает на существование новой общей математической теории, предельным случаем которой является классическое дифференциальное исчисление. Мы назвали эту новую теорию вторичным, а не квантовым дифференциальным исчислением, во-первых потому, что сфера ее действия существенно шире квантовой физики, а, во-вторых, потому что прилагательное «квантовый» основательно в последнее время затрепано его уместным, но чаще неуместным употреблением.
Наблюдаемость в классической физике, коммутативная алгебра и дифференциальное исчисление. Принцип Бора, предсказывая существование «квантового» дифференциального исчисления, не дает нам конструктивных средств для его построения. Для этого требуется более тонкие рассуждения. Один из основных принципов современной физики утверждает: существует только то, что наблюдаемо. Фундаментальное различие между классической и квантовой физикой состоит в том, что наблюдения в классической физике независимы и не меняют состояния наблюдаемых объектов. Поэтому прежде чем приступать к поискам вторичного дифференциального исчисления естественно проанализировать и формализовать с максимальной математической тщательностью классическую процедуру наблюдения в физике, тем более что это в полном объеме еще не было сделано.
Схематически математическое содержание этой процедуры состоит в том, что физические приборы, собранные в воображаемой «классической» лаборатории, являются образующими некоторой коммутативной алгебры над полем действительных чисел, алгебры наблюдаемых. Всякое конкретное наблюдение является гомоморфизмом этой алгебры в алгебру действительных чисел. По этой причине наблюдения, то есть состояния интересующей нас физической системы, образует действительный спектр этой алгебры наблюдаемых. Таким образом, вся информация о структуре, динамике и etc этой системы должна быть выражаемой в терминах алгебры наблюдаемых. Поскольку de facto мы знаем, что вся эта информация предоставляется нам дифференциальным исчислением, то мы приходим к выводу, что оно, при условии справедливости постулированных выше принципов, должно являться одним из аспектов коммутативной алгебры.
Оказывается, что это действительно так и полнокровное дифференциальное исчисление, а, стало быть, и теория дифференциальных уравнений, дифференциальная геометрия, дифференциальная топология и так далее, могут быть построены над произвольной коммутативной алгеброй. Логический скелет этой конструкции образован функторами дифференциального исчисления и не требует никаких гипотез топологического и другого характера. Достаточно арифметических операций.
Исчисление этих функторов оказывается необходимой предпосылкой для построения вторичного дифференциального исчисления. Сам же факт существования алгебраического дифференциального исчисления служит подтверждением постулированных выше принципов.
Геометрия дифференциальных уравнений, диффеотопы и вторичное дифференциальное исчисление. Причины математической неудовлетворительности существующей квантовой теории, и, прежде всего, квантовой теории поля напрямую связаны с неразработанностью основ теории нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Это ясно из того, что квантовая теория поля исходит из теории классических полей, описываемых такими уравнениями. Парадоксально, что несмотря на исключительную важность теории нелинейных дифференциальных уравнений для всего современного математического естествознания (механика сплошных сред и т.п.), не говоря о таких разделах математики, как, скажем, дифференциальная геометрия, математики прошлого века почти не обращали на нее никакого внимания. В результате отдельные уравнения, важные с точки зрения приложений (та же механика сплошных сред) изучались узкими специалистами кустарными методами, порой очень непростыми и изощренными, но всегда слишком специальными. Общее настроение того времени выразил Курант, который писал: «Вопросы, связанные с дифференциальными уравнениями порядка выше первого настолько разнообразны, что построение единой теории не представляется возможным». Это представляет резкий контраст с восемнадцатым и девятнадцатым веками, когда самые выдающиеся математики уделяли много внимания нелинейным дифференциальным уравнениям и заложили фундамент этой теории. Этот славный период начинается с работ Гаспара Монжа и заканчивается фундаментальными работами Софуса Ли, между которыми видны блестящие имена Фробениуса, Дарбу, Якоби, Бэклунда и многих других. Надолго забытые результаты этих классиков были востребованы и частично возвращены к жизни специалистами в области теоретической и математической физики (а не «чистыми» математиками) только в семидесятые годы прошлого века, во время бума вокруг интегрируемых систем.
Некоторые новые конструкции теории интегрируемых систем, как оказалось, имеют общематематическую природу и не ограничиваются рамками классической теории Ли. В результате на базе синтеза классики, когомологической теории Спенсера и Гольдшмидта и общематематической части теории интегрируемых систем возникла современная геометрическая теория уравнений в частных производных.
Основными объектами новой теории являются диффеотопы, которые играют в теории дифференциальных уравнений такую же роль, как алгебраические многообразия в теории алгебраических уравнений. Они представляют собой особого рода многообразия, как правило, бесконечномерные, снабженные контактной структурой бесконечного порядка. Вторичное дифференциальное исчисление есть дифференциальное исчисление на диффеотопах, уважающее эту контактную структуру. Бесконечномерность диффеотопов делает невозможным построение дифференциального исчисления стандартными методами. Именно поэтому здесь неизбежно применение алгебраического подхода, о котором говорилось выше. Таким образом, вторичное дифференциальное исчисление запрограммировано на языке обычного, то есть первичного, дифференциального исчисления, учитывающего специфику диффеотопов. Именно поэтому оно называется вторичным.
Теория многообразий, как гладких, так и алгебраических, и, вообще, вся обычная математика оказываются нульмерным в смысле диффеотопической размерности частным случаем теории дифффеотопов, и именно это показывает, что последняя удовлетворяет математическому принципу Бора, обсуждавшемуся выше. Подобно своему физическому прототипу этот принцип используется для решения проблемы «овторичивания», основной проблемы вторичного дифференциального исчисления, состоящей в нахождении во вторичном дифференциальном аналогов всех компонентов обычного дифференциального исчисления.
Таким образом, эта проблема оказывается математическим парафразом проблемы квантования. Будучи более общей и существенно более формализуемой, чем проблема квантования, она допускает почти алгоритмическое решение. Ее полное решение позволило бы раз и навсегда закрыть последнюю и написать уравнения квантовой теории поля и ее обобщений. Теория струн и т.п. могут быть написаны непосредственно на языке вторичного дифференциального исчисления, разумеется, в непертурбативной форме. Начало этому уже положено. Именно, показано, что раздел современной квантовой теории поля, связанный с БРСТ-преобразованием и антиполевым формализмом естественно и концептуально прозрачно описывается на языке вторичного дифференциального исчисления, хотя эти теории возникли и развивались поначалу совершенно независимо друг от друга.
Кванты в математике ХХ века — когомология. Замечательным и неожиданным фактом, выяснившемся в процессе построения вторичного дифференциального исчисления, является то, что его объекты суть классы когомологий некоторых дифференциальных комплексов, естественным образом возникающих на диффеотопах. Это, в свете сделанных ранее предположений, указывает на то, что математический аппарат, описывающий квантовые явления, имеет существенно когомологическую природу (и такие характерные квантовые свойства как, скажем, некоммутативность, являются одним из ее проявлений). Квантовые величины напоминают характеристические классы, при помощи которых в дифференциальной геометрии описываются те или иные геометрические структуры. В более общем контексте это указывает на то, что правильное описание решений дифференциальных уравнений с частными производными тоже должно быть когомологическим. Иными словами, решения дифференциального уравнения должны описываться при помощи классов когомологий дифференциальных комплексов, естественным образом с ним связанных. Эти классы можно понимать как обобщенные законы сохранения.
Тридцатые годы прошлого столетия ознаменовались построением двух принципиально новых теорий — теории гомологий в математике и квантовой механики в физике. Естественно, что как в те годы, так и непосредственно позже, нельзя было и заподозрить какую-либо связь между ними. Поэтому максимум того, что можно было найти в модной математике того времени для описания квантовых явлений, была теория самосопряженных операторов в гильбертовых пространствах. Этот выбор, принятый сообществом физиков во многом благодаря авторитету Джона фон Ноймана, имел многие негативные последствия. Построенная на его основе схема оказалась принципиально нелокализуемой и, как образно заметил Дирак, «физически существенные в квантовой теории поля взаимодействия настолько сильны, что выбивают всякий шрёдингеровский вектор состояния из гильбертова пространства за наименьший возможный промежуток времени» (!). Так же неудачно закончилась попытка сороковых годов написать аналог уравнения Шредингера в теории поля, заменяя в нем частные производные на функциональные. В свете того, что мы знаем сегодня, это была первая попытка написать вторичное дифференциальное уравнение в квантовой теории поля. Механическая замена обычных производных на функциональные, конечно, не могла принять во внимание когомологическую природу операторов и величин вторичного дифференциального исчисления, что и обусловило ее провал. Таким образом, открытие гомологических методов в математике двадцатого века можно назвать открытием «квантового описания» в математике.
Диффеотопия. Построение содержательной общей теории нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных является фундаментальной проблемой современной математики, без решения которой невозможно успешное развитие современного математического естествознания. Построение адекватных математических основ теории квантовых явлений есть важнейшая составная часть этой проблемы. На основании сказанного выше мы констатируем, что они не могут быть решены никакими техническими усовершенствованиями в рамках традиционной математики. Диффеотопия — это та новая математика, которая позволяет поставить решение этих фундаментальных проблем на твердую основу. Она является синтезом двух теорий — первичного дифференциального исчисления, то есть теории функторов дифференциального исчисления над коммутативными алгебрами и вторичного дифференциального исчисления.
Актуальные проблемы диффеотопии можно разделить на два больших класса. К первому относятся проблемы, связанные с выявлением и исследованием базовых структур первичного и вторичного исчислений. Упомянутая выше проблема «овторичивания» является весьма нетривиальной проблемой этого типа. Вопросы адекватного перевода тех или иных математических или физических проблем на язык диффеотопии, а они могут быть очень непросты, также принадлежат к этому классу. Нахождение уравнений квантовой теории поля — одна из наиболее важных проблем такого типа. Ко второму классу относятся многочисленные проблемы технического и вычислительного характера, связанные с решением конкретных задач диффеотопическими методами. Скажем, задача нахождения всех законов сохранения или преобразований Бэклунда для заданной системы дифференциальных уравнений, которая является алгоритмической в рамках вторичного исчисления, дает пример простейшей проблемы этого класса. Актуальные вычисления, использующие методы вторичного дифференциального исчисления, зачастую оказываются столь сложными и трудоемкими, что их осуществление без надлежащей компьютерной поддержки становится невозможным. Поэтому разработка соответствующего специализированного программного обеспечения для символических «вторичных» вычислений является исключительно важной задачей.

Библиография


Алексеевский Д. В., Виноградов А. М., Лычагин В. В. Основные понятия и идеи дифференциальной геометрии // Фундаментальные направления современной математики. 1988. Т. 28
Виноградов А. М. Геометрия нелинейных дифференциальных уравнений // Итоги науки и техники. Проблемы геометрии. М., 1980. Т. 11
Виноградов А. М., Красильщик И. C., Лычагин В. В. Введение в геометрию нелинейных дифференциальных уравнений. М., 1986
Неструев Д. Гладкие многообразия и наблюдаемые. М., 2000
Симметрии и законы сохранения уравнений математической физики / Под ред. А. М. Виноградова, И. C. Красильщика. М., 1997
Barnich G., Brandt F., Henneaux M. Local BRST cohomology in the antifield formalism: I. General theorems // Comm. Math. Phys. 1995. № 174; hep-th/9405109.
Bryant R. L., Griffiths Ph. A. Characteristic cohomology of differential systems. I: General theory // J. Amer. Math. Soc. 1995 № 8
Bryant R. L., Griffiths Ph. A. Characteristic cohomology of differential systems. II: Conservation laws for a class of parabolic equations // Duke Mathematical Journal. 1995. № 78
Goldschmidt H. Integrability criteria for systems of non-linear partial differential equations // J. Differential Geometry. 1967. № 1
Henneaux M., Teitelboim C. Quantization of Gauge Systems. Princeton, 1992
Krasil’shchik I. S., Verbovetsky A. M. Homological methods in equations of mathematical physics. Opava, 1998;
http://diffiety.ac.ru/preprint/98/07_98abs.htm
Krasil’shchik I. S., Kersten P. Symmetries and recursion operators for classical and supersymmetric differential equations // Mathematics and its applications. Dordrecht-Boston-London, 2000. V. 507
Secondary Calculus and Cohomological Physics. Contemporary Mathematics / Ed. by M.Henneaux, I. S. Krasil’shchik, A.M. Vinogradov. American Mathematical Society, 1998. V. 219
Spencer D. C. Overdetermined systems of linear partial differential equations // Bull. Amer. Math. Soc. 1969. № 75
Tsujishita T. Formal geometry of systems of differential equations // Sugaku Expositions. 1989. № 2
Vinogradov A. M. From symmetries of partial differential equations towards secondary («quantized») calculus // J. Geom. and Phys. 1994. № 14
Vinogradov A. M. Cohomological Analysis of Partial Differential Equations and Secondary Calculus // Translations of Mathematical Monographs. American Mathematical Society, 2001. V. 204 http://diffiety.ac.ru/

  • ДРУГИЕ МАТЕРИАЛЫ РАЗДЕЛА:
  • РЕДАКЦИЯ РЕКОМЕНДУЕТ:
  • ОСТАВИТЬ КОММЕНТАРИЙ:
    Имя
    Сообщение
    Введите текст с картинки:

Интеллект-видео. 2010.
RSS
X